Оценки в уравнениях над Z
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары 
натуральных чисел, для которых
Источники:
Подсказка 1
Давайте перенесем куб вправо и изменим внутри знак. Тогда, что мы можем сказать про ab, если 3^3 = 27? А что мы можем сказать про то как связаны a и b?
Подсказка 2
Из того, что 27 - куб, следует, что ab - тоже куб, так как справа у нас расположен куб. А что насчет связи a и b? Если у них есть общий делитель, то получается, что по некоторому простому модулю p, для которого a = 0 и b = 0 (mod p), выходит, что 1 = 0, mod p. Значит, p = 1, а значит a и b взаимнопросты. Как мы тогда можем скомбинировать наши результаты?
Подсказка 3
Тогда, a, b - кубы, ведь они взаимнопросты и их произведение - куб(если вам непонятно почему это так, то попробуйте рассмотреть произвольное p^3a и понять почему факт верен). Но тогда, выходит, что 27xy = 1 - x^3 - y^3(x^3 = a, y^3 = b). Хмм, мы пришли к уравнению, которое все же лучше начального, но также непонятно как решать. Давайте попробуем как-то оценить x через y, и быть может из этой оценки будет явно следовать ограниченность количества вариантов(подсказка внутри подсказки - 27xy > 0).
Подсказка 4
Но если у нас 27xy > 0, то x^3 - y^3 - 1 > 0, а значит y <= x - 1. Подставив эту оценку(после переноса всех слагаемых в одну сторону) в уравнение, мы и получим ограниченность количества решений, откуда и будет следовать ответ.
Во-первых, покажем, что 
и 
взаимно просты. Пусть это не так, тогда они делятся на какое-то простое число 
, а значит и 
делится на 
, но это не так.
Во-вторых, покажем, что 
и 
— точные кубы. Число 
— куб, 
— куб, значит и 
— куб. Если некоторое простое число
входит в 
в степени 
, то оно либо входит в этой же степени в 
, а в 
— в нулевой, либо наоборот, так как 
. Таким
образом, 
и 
— кубы, ведь все простые множители входят в них в 
степени.
Пусть 
, тогда извлечём из равенства кубический корень и получим:
Зафиксируем 
и сравним с ней 
. Ясно, что 
, потому что иначе правая часть отрицательна, а левая — положительна.
Перепишем равенство в виде:
Нетрудно видеть, что
То есть равенство возможно лишь когда 
, откуда 
. Притом эта пара является решением при любом
натуральном 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
