Трапеция
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана трапеция 
Известно, что 
а биссектрисы углов 
и 
пересекаются в точке 
лежащей внутри
трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников 
и 
касаются.
Источники:
Подсказка 1:
В данном случае для доказательства касания достаточно показать, что окружности имеют общую точку, лежащую на их линии центров. Подумайте, почему это так.
Подсказка 2:
Значит, нужно понять, какая прямая является их линией центров. Для этого нужно узнать какую-то дополнительную информацию про окружности. Обратите внимание на треугольник CED.
Подсказка 3:
Биссектрисы односторонних углов пересекаются под прямым углом, поэтому треугольник CED прямоугольный. А что можно сказать про прямую, содержащую его медиану, проведённую к гипотенузе?
Подсказка 4:
Чтобы она стала линией центров этих окружностей, она должна стать средней линией трапеции. Действительно, она же тогда будет проходить через середины боковых сторон.
По условию 
и 
, поэтому 
— основания трапеции. Пусть 
и 
— середины 
и 
так что 
—
средняя линия трапеции 
При этом 
параллельна основаниям, поэтому 
и значит, 
— серединный перпендикуляр к 
Значит, центр
окружности 
лежит на прямой 
Положим
Из параллельности 
следует, что 
, поэтому 
.
Видим, что треугольник 
— прямоугольный (
), а значит, 
— центр окружности 
Далее, в прямоугольном треугольнике 
имеем 
поэтому 
, а из равенства углов 
следует 
поэтому 
лежит на прямой 
Итак, 
— общая точка окружностей 
и 
лежащая на их линии центров 
Значит, эти окружности касаются (в
точке 
).
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
