Трапеция

Отметим центр параллелограмма Он лежит на средней линии трапеции, поскольку Продлим до пересечения с и в точках и соответственно. Заметим, что и а значит потому что Также отметим, что Теперь видно, что по первому признаку, а значит у них равные высоты и проведённые к и В силу равнобедренности трапеции Но тогда а вместе с этим Следовательно, что и требовалось.

Пусть основание равно тогда из условия получаем, что

Зная оба основания, можем посчитать среднюю линию трапеции:

Пусть тогда по условию Проведём биссектрису угла которая пересекает в точке Тогда

По параллельности оснований трапеции Так как то а значит, четырёхугольник — параллелограмм.

Тогда:

Осталось заметить, что треугольник равнобедренный, поэтому Значит,

Первое решение.

В силу параллельности

Отложим от точки отрезок

Тогда — параллелограмм (т. к. а

Значит, как односторонние углы при секущей

Найдем угол

Получили, что Тогда — равнобедренный, в котором

В итоге,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отложим на прямой за точку отрезок равный

Т.к. можем получить

Треугольник равнобедренный, т.к. поэтому

Получаем, что

Следовательно, значит, Но мы знаем, что поэтому — параллелограмм. Значит,

Пусть нам дана трапеция ( — ее основания). Точки — середины оснований и соответственно, — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что лежит на отрезке .

Треугольники подобны по двум углам. Тогда:

Но

Значит, в силу равенства и отношению сторон:

Из подобия получаем равенство углов , что говорит о том, что лежат на одной прямой.

Диагонали трапеции перпендикулярны, поэтому прямоугольные. В прямоугольных треугольниках медиана к гипотенузе равны ее половине, то есть

Пусть — середина основания По условию основание в два раза меньше то есть:

Тогда — параллелограмм, потому что стороны равны и параллельны. Следовательно, будут параллельны Так как — высота к получаем

При этом — прямая, содержащая среднюю линию в треугольнике так как параллельна и проходит через середину Следовательно, проходит через точку — середину

В итоге, — высота и медиана треугольника Значит, он равнобедренный и

Пусть дана трапеция — отрезок, соединяющий середины оснований и — точка пересечения диагоналей и

Тогда, так как треугольники и подобны. и — соответствующие элементы в подобных треугольниках (медианы). Значит, Следовательно, точки и лежат на одной прямой.

Проведём где точка лежит на продолжении стороны Тогда, так как и — параллелограмм.

Так как диагональ в параллелограмме делит его на равных треугольника,

Заметим, что так как они имеют общее основание а вершины и лежат на прямой, параллельной основанию (что означает, что их высоты из точки будут равны). Получаем:

Значит,

Таким образом, нам нужно найти площадь у которого известны стороны: по условию, так как — параллелограмм.

Проведём лежит на Тогда, так как и — параллелограмм. Значит,

Таким образом, значит, — медиана Получается, в нам также известна медиана:

Сделаем выносной чертёж

Продлим медиану на свою длину — точка Тогда, четырёхугольник — параллелограмм (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит,

Заметим, что так как Значит, нам нужно найти площадь Так как его стороны равны то по обратной теореме Пифагора этот треугольник прямоугольный. Значит, его площадь равна

Тогда,

Поскольку треугольники и подобны, и потому

Достроим треугольник до параллелограмма Тогда треугольник и подобны, поэтому

Наконец, поскольку и получаем

Отсюда следует, что

равнобедренный, поэтому Накрест лежащие углы равны: . Значит,

Повернём картинку на угол относительно точки так, чтобы точка перешла в точку Из доказанного выше равенства углов следует, что прямая при этом повороте перейдёт в прямую Точка при этом перейдёт в такую точку на прямой что расстояние от неё до точки равно Таких точек две. Одна из них точка а вторая — какая-то точка

Значит, или как односторонний угол. Это один из ответов.

Посмотрим теперь на точку равнобедренный, причём равен тому из углов и который является острым (случай прямого угла исключается значениями углов и которые даны в каждом их вариантов). Если тупой, точка очевидно лежит на луче и Если же острый, и точка находится на луче При этом во всех вариантах т.е. поэтому точка лежит ближе к чем , т.е. попадает на отрезок Значит,

Пусть — точка пересечения прямых и точка — точка пересечения прямых и Из параллельности прямых и следует равенство углов

Достаточно показать, что что эквивалентно тому, что прямая касается окружности , то есть тому, что верно равенство произведений отрезков секущих а в силу , равенство

Осталось заметить, что, в силу подобия треугольников и

а в силу подобия треугольников и

Получаем

Домножив обе части равенства на произведение знаменателей, получим требуемое.

Пусть . Проведём среднюю линию трапеции , как на чертеже:

Она проходит через точки и Тогда параллельна и — середина откуда — средняя линия треугольника Аналогично — средняя линия Таким образом,

Отсюда

В случае всё аналогично, а чтобы объединить случаи, можно просто поставить модуль:

Первое решение. Идея — спрямление суммы отрезков в один отрезок с той же длиной.

На прямой за точку отметим такую точку , что , тогда , а значит — параллелограмм. . Треугольник — равнобедренный, откуда . Также из прямоугольного имеем , . То есть — равнобедренный, значит , из чего следует .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Идея — разбить трапецию на параллелограмм и треугольник (одно из стандартных построений для убийства трапеции).

Отметим на такую точку , что , тогда — параллелограмм и . По условию . , а значит, , откуда — серединный перпендикуляр к (потому что — р/б). Из этого следует, что - равнобедренный, . , , , значит, — равнобедренный, то есть . Таким образом, .

Проведём через точку прямую , параллельную .

Получили параллелограмм , а значит,

Заметим, что , то есть — равнобедренный, откуда

Продлим биссектрису до пересечения с в точке .

в силу вертикальности и параллельности соответственно, значит и подобны, притом с коэффициентом 1, откуда . Осталось заметить, что — равнобедренный, то есть

Пусть — точка пересечения биссектрис.

Заметим, что — равнобедренный, откуда . Далее немного посчитаем углы:

Проведём высоту , она равна , а значит,

в силу равнобедренности , откуда

Пусть — середина , тогда нетрудно понять, что — ромб, значит, . Также по условию , откуда .

Таким образом, — прямоугольный, так как его медиана равна половине стороны, к которой она проведена.

По условию , а из параллельности . Значит, треугольник равнобедренный. Поэтому — биссектриса, высота и медиана в треугольнике . Отсюда — серединный перпендикуляр к и поэтому тоже равнобедренный. Тогда , а треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, , так что ромб. Тогда его диагонали пересекаются в серединах и перпендикулярны, поэтому , и . Площадь всего ромба равна , а площадь треугольника равна половине площади ромба, то есть , поэтому .

Пусть окружность с центром и радиусом касается в точках соответственно. Пусть также — проекция на , и — проекция на . Отсюда , а также .

Напишем теорему Пифагора для

Поскольку , то . Пусть , аналогично имеем , откуда

Отсюда .

Обозначим радиус окружности за , . Из получаем (с учётом условия задачи).

По теореме косинусов для

Если провести высоту треугольника , то легко понять, что , отсюда

Пусть тогда из условия получаем, что Сделаем дополнительное построение — проведем параллельно В силу параллельности противоположных сторон, полученный четырехугольник — параллелограмм. Значит, то есть в треугольнике все стороны равны, получается, он правильный и все его углы равны Нам нужно было найти угол между и а он равен углу между и То есть искомый угол равен

Проведём отрезок параллельный Нетрудно понять, что — параллелограмм, откуда Заметим, что отрезок равен разности оснований и что — равнобедренный, откуда что и требовалось.