Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Преобразования плоскости → .11 Линейное движение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Преобразования плоскости

Центральная симметрия

Осевая симметрия

Поворот

Гомотетия

Три центра гомотетии (теорема о трёх колпаках)

Поворотная гомотетия

Инверсия

Инверсия + симметрия

Проективные преобразования

Изогональное сопряжение

Линейное движение

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#81685Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$ соответственно. Прямая $XY$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q.$ Докажите, что середины отрезков $BY,CX,XY$ и $PQ$ лежат на одной окружности.

Показать доказательство

Пусть $K,L,M,N$ — это середины отрезков $BY,CX,XY$ и $PQ$ соответственно. Так как $MK ∥AB$ и $ML ∥AC,$ то $∠KML = ∠BAC.$ Значит, нам нужно доказать, что $∠KNL = ∠BAC.$ Будем линейно двигать прямую $XY.$ Тогда точки $X$ и $Y$ будут двигаться линейно. А значит и точки $K,L$ и $M$ будут двигаться линейно. Пусть $O$ — это центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Тогда так как $N$ это основание перпендикуляра из $O$ на $PQ,$ а направление прямой $PQ$ не меняется, то $N$ также двигается линейно. Следовательно, нам нужно найти три момента времени, в которые $∠KNL = ∠BAC.$ В качестве этих моментов можно выбрать моменты

$1)X = B;$

$2)Y =C;$

$3)X = Y = A$

(все эти случаи различны кроме случая $XY ∥AB$ ). В этих случаях утверждение задачи доказать нетрудно. Когда $XY ∥AB$ можно рассмотреть момент, когда $X$ и $Y$ это середины отрезков $AB$ и $AC.$ Тогда точки $K,L,M$ и $N$ будут лежать на окружности $9$ точек треугольника, образованного серединами треугольника $ABC.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#81686Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $BC,CA,AB$ равнобедренного треугольника $ABC (AB = AC)$ отмечены точки $P,X,Y$ так, что $P X∥AB,PY ∥CA.$ Точка $T$ — середина дуги $BC$ окружности $(ABC ).$ Докажите, что $T P ⊥ XY.$

Показать доказательство

Пусть $H$ — это ортоцентр треугольника $PXY.$

$PIC$

Докажем, что точки $T,P$ и $H$ лежат на одной прямой, откуда будет следовать решение задачи. Будем линейно двигать точку $P.$ Тогда точки $X$ и $Y$ также двигаются линейно. Следовательно, высоты из точек $X$ и $Y$ треугольника $PXY$ всегда будут одного направления, а значит они тоже будут двигаться линейно. Значит, $H$ двигается линейно. Также точка $T$ двигается линейно. Нам осталось найти три момента времени, в которые точки $T,P$ и $H$ лежат на одной прямой. Например, можно выбрать моменты

$1)P =B;$

$2)P =C;$

$3)P$ — это середина $BC.$

В этих случаях утверждение задачи доказать нетрудно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#75643Максимум баллов за задание: 7

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ ( $∠A < 90∘$ ) отмечена точка $T$ так, что треугольник $ADT$ — остроугольный. Пусть $O ,O 1 2$ и $O3$ — центры описанных окружностей треугольников $ABT,ADT$ и $CDT$ соответственно. Докажите, что точка пересечения высот треугольника $O1O2O3$ лежит на прямой $AD.$

Источники: Всеросс., 2011, ЗЭ, 11.2(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Иногда, чтобы проверить, что точка лежит на некоторой фиксированной прямой, достаточно показать, что она движется линейно, при линейном движении некоторого другого объекта. Что можно рассмотреть в качестве данного объекта в нашей задаче?

Подсказка 2

Сначала может показаться, что хорошей идеей является движение точки T вдоль прямой BC. К сожалению, при этом центр описанной окружности треугольника ATD не будет двигаться линейно, а значит последующее решение не предоставляется возможным. Что можно двигать линейно, чтобы исправить данную проблему?

Подсказка 3

Давайте будем двигать линейно отрезок BC вдоль прямой, на которой он лежит. Докажите, что каждый из центров окружностей так же будет двигаться линейно. Почему при этом ортоцентр будет двигаться линейно?

Подсказка 4

Высоты из точек O₁ и O₃ параллельны соответственно сторонам TD и AT, следовательно, ортоцентр является точкой пересечения прямых постоянного направления, проходящий через точки, которые движутся линейно. Таким образом, достаточно найти два положения, при которых ортоцентр лежит на прямой AD. Найдите их.

Подсказка 5

Что может быть лучше высот? Много высот! Рассмотрите положение отрезка BC, при котором ABCD является прямоугольником.

Подсказка 6

В качестве одного из возможных вторых положений можно рассмотреть такое, при котором B совпадает с точкой T. Помните, что если на описанной окружности треугольника выбрана точка, то ее образы при отражении относительно сторон треугольника попадают на одну прямую, которая проходит через ортоцентр треугольника.

Показать доказательство

$PIC$

Зафиксируем точки $A,D,T.$ Пусть точка $B$ движется линейно по прямой, проходящей через $T,$ параллельно $AD.$ Тогда точка $C$ так же движется линейно, поскольку $--- B+ AD = C.$ Кроме этого, $O1$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AT$ (фиксирован при движении) и $BT$ (имеет постоянное направление и проходит через середину отрезка $BT,$ которая движется линейно), следовательно движется линейно. Аналогично точка $O3$ движется линейно.

Рассмотрим треугольник $O1O2O3.$ Заметим, что прямая $O1O2$ фиксированная, поскольку является серединным перпендикуляром к фиксированному отрезку $AT,$ следовательно высота, проведенная из точки $O3$ имеет постоянное направление, кроме этого проходит через линейнодвижущуюся точку. То же верно про высоту, проведенную из вершины $O1.$ Наконец, точка пересечения $H$ указанных прямых движется линейно. Покажем, что в двух положениях $H$ лежит на $AD.$

Положение 1. Пусть точка $B$ такова, что $ABCD$ является прямоугольником. Тогда $O1$ является серединой стороны $AT,O3$ — $DT.$ Пусть $M$ — середина стороны $AD.$ Как известно, $O2$ является ортоцентром треугольника $MO1O3,$ а значит $M$ является ортоцентром треугольника $O1O2O3$ и принадлежит $AD.$

Положение 2. Пусть $B$ совпадает с $T.$ В этом случае точка $O1$ определяется как точка пересечения прямой, проходящей через $T$ и перпендикулярной $AD,$ и серединного перпендикуляра к $AT,$ точка $O3$ симметрична $O2$ относительной прямой $TD.$

Заметим, что

∘ ∠O2O1T = 90 − ∠AT O1 = ∠A = ∠TO2O3 = ∠TO3O2

что влечет принадлежность точек $O1,O2,O3$ и $T$ одной окружности.

$PIC$

Наконец, точки $A$ и $D$ симметричны точке $T$ относительно одной из сторон треугольника $O1O2O3$ , следовательно прямая $AD$ является прямой Штейнера точки $T$ относительно треугольника $O1O2O3$ и проходит через ее ортоцентр.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#75637Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $BC$ и $CD$ ромба $ABCD$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $BP = CQ.$ Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $APQ$ лежит на диагонали $BD$ ромба.

Источники: Турнир городов - 2010, осенний тур, сложный вариант, 9.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Утверждение задачи очевидно в случае, если P совпадает с C или B. Каким способов можно обобщить данный факт, если знаем, что он верен в нужном количестве частных случаев?

Подсказка 2

Доказать задачу с помощью линейного движения. Достаточно показать, что точка пересечения медиан движется линейно при линейном движении точки P. Случаи для проверки, что прямая ее движения совпадает с BD мы уже нашли.

Подсказка 3

Понятно, что точки P и Q движутся линейно. Что в таком случае можно сказать, про середину их отрезка?

Подсказка 4

Она так же движется линейно. Как из этого следует линейность движения точки пересечения медиан?

Подсказка 5

Последняя лежит на отрезке, который соединяет данную середину с вершиной A, и делит его в фиксированном отношении 2 : 1, то есть так же движется линейно.

Показать доказательство

$PIC$

Первое решение. Пусть точки $P$ и $Q$ будут двигаться линейно из точки $B$ в точку $C$ и из точки $C$ в точку $D$ с равными скоростями. Тогда точка $X$ — середина отрезка $PQ$ также будет двигаться линейно. Значит, и точка $Y,$ делящая отрезок $AX$ в отношении $2$ к $1,$ будет двигаться линейно. Следовательно, точка пересечения медиан треугольника $APQ$ движется линейно по некоторой прямой $ℓ.$ Осталось показать, что $ℓ= BD$ Для этого достаточно найти два момента времени, когда точка пересечения медиан лежит на $BD.$ Например, подойдут положения $P =B,Q = C$ и $P = C,Q= D.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Расположим наш ромб на комплексной плоскости так, чтобы его центр попал в начало отсчета, вершина $B$ — в точку $i,$ вершина $D$ — в точку $− i$ (этого можно добиться с помощью поворота, параллельного переноса и гомотетии). Тогда вершины $A$ и $C$ попадут на вещественную ось, причем $a= −c.$ Пусть $BP-= λPC,$ откуда $p= i+-λc. 1 +λ$ Аналогично $c− λi q = 1+-λ.$ Координата точки пересения медиан треугольника $AP Q$ может быть вычислена по формуле $a-+p+-q = i+-λc+-c− λi−-c− λc-= i⋅-1− λ . 3 3(1 +λ) 3(1+ λ)$ Последнее выражение является чисто мнимым, а значит, лежит на прямой $BD.$

Предыдущая подтема