Преобразования плоскости → .04 Гомотетия

Пусть и – точки касания прямой соответственно с вписанной и вневписанной окружностями. Элементарно выводится, что . Сделаем гомотетию с центром в точке и коэффициентом, равным отношению радиусов вписанной и вневписанной окружностей, при которой перейдёт в . Тогда точка касания вневписанной окружности отрезка (эта окружность стала вписанной для ) естественно лежит на прямой , соединяющей центр гомотетии с прообразом точки . Отсюда и (радиус вневписанной окружности), тогда , как средняя линия в . При этом , потому что обе эти прямые перпендикулярны . Значит, — параллелограмм по определению, поэтому .

Обозначим за и Олега, Оливера и двух помощников соответственно, за — центр положительной гомотетии окружностей и Из условия следует, что прямая всегда проходит через причем, так как радиусы окружностей отличаются в два раза, отрезок делится точкой пополам. Отметим точку — пересечение луча с Поскольку равные хорды стягивают равные меньшие дуги, точка — середина дуги то есть прямая содержит внутреннюю биссектрису треугольника а еще По лемме о трезубце это означает, что точка является центром вписанной окружности треугольника обозначим эту окружность за

Покажем, что является искомой окружностью. Она касается отрезка в силу построения, поэтому достаточно проверить, что она не зависит от времени. Как показано выше, центр — это обозначим ее радиус за . Также обозначим за расстояние между центрами и а за — постоянный радиус

Посчитаем степень точки относительно двумя способами:

Величины и не зависят от времени, поэтому также от него не зависит, следовательно, окружность имеет постоянный центр и радиус, что и требовалось доказать.

Обозначим за середины сторон соответственно. Заметим, что — серединный перпендикуляр к отрезку а значит, прямая перпендикулярна прямой Следовательно, точка является ортоцентром треугольника

Рассмотрим гомотетию с центром в точке и коэффициентом При этой гомотетии точки переходят в точки соответственно. Тогда ортоцентр треугольника переходит в ортоцентр треугольника откуда и следует утверждение задачи.

Пусть точки и симметричны относительно точкам и соответственно. Тогда окружность вписана в треугольник и касается в точке Медиана является средней линией в треугольниках и так что Поскольку — середина утверждение задачи равносильно тому, что прямая содержит среднюю линию треугольника (параллельную ), то есть утверждение равносильно параллельности

Пусть касается и в точках и соответственно, а касается отрезков и в точках и соответственно. Заметим, что

Аналогично, если вписанная окружность треугольника касается в точке то

Однако

так что и потому

Из доказанного следует, что вневписанные окружности треугольников и также касаются отрезка в одной и той же точке симметричной относительно (поскольку ). Гомотетия с центром переводящая прямую в прямую переводит вневписанную окружность треугольника в окружность то есть точку — в Значит, лежит на прямой но, поскольку имеем то есть что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 1. После первого абзаца решение также можно завершить применением теоремы Брианшона к описанному (около ) шестиугольнику Теорема утверждает, что три главных диагонали этого шестиугольника пересекаются в одной точке или попарно параллельны; в нашей задаче реализуется второй случай, то есть

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 2. Из утверждения задачи следует, что центр вписанной окружности треугольника лежит на Существуют способы решить задачу, доказав этот факт.

Покажем, что является биссектрисой угла (это утверждение называется леммой Архимеда и при правильной формулировке может быть использовано на олимпиаде без доказательства). Тогда по свойству биссектрисы получим

______________________________________________________________________________________________________

Способ 1. Пусть общая касательная к окружностям пересекает прямую в точке Пусть Отрезки и равны как отрезки касательных, проведенных из точки к меньшей окружности, следоваетельно,

По теореме об угле между касательной и хордой верно, что Наконец, по теореме о внешнем угле в треугольнике

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 2. Рассмотрим гомотетию с центром в точке переводящую меньшую окружность в большую. Пусть прямая пересекает большую окружность в точке тогда прямая под действием гомотетии переходит в касательную к большей окружности, проведенную в точке Таким образом, данная касательная паралельна то есть является серединой меньшей дуги большей окружности.

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 3. Пусть — середина меньшей дуги окружности большей окружности. Рассмотрим инверсию с центром в точке и радиусом Точки и под действием инверсии останутся на месте, следовательно, прямая переходит в окружность, проходящую через точки и центр окружности инверсии — то есть в большую окружность. Наконец, меньшая окружность переходит в окружность, которая касается образа большей окружности и образа прямой и гомотетична своему пробразу с центром в то есть остается на месте, то есть точка перейдет в точку а значит, прямая проходит через центр инверсии —

Решение 1.

Отметим сначала полезное свойство касающихся окружностей, а потом перейдём к решению задачи. Если секущая проходит через точку касания двух окружностей, то вписанные углы, опирающиеся на высекаемые ей дуги, равны. Действительно, поскольку вписанный угол равен углу между касательной и секущей, имеем равенство

Теперь перейдем к решению задачи. Пусть — основание биссектрисы угла Точки и симметричны относительно прямой поэтому и треугольники и равны. Из касания окружностей в точке имеем равенство поэтому четырёхугольник вписанный. Из касания окружностей в точке имеем равенство значит, четырёхугольник также вписанный. Отметим, что описанные окружности четырёхугольников и равны, поскольку они являются описанными окружностями равных треугольников и Хорды и этих окружностей лежат напротив углов и Поскольку равны углы, эти хорды также равны.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2.

Рассмотрим гомотетию с центром переводящую окружность, проходящую через вершину и касающуюся в точке в окружность Эта гомотетия переводит точку в точку а точка — в точку вторичного пересечения прямой, параллельной и проходящей через с окружностью Тогда точки лежат на одной прямой. Аналогично точки тоже лежат на одной прямой. Рассмотрим прямую С одной стороны, она является биссектрисой угла поскольку — середина дуги С другой стороны, угол опирается на диаметр, значит, он прямой и не только биссектриса, но и высота треугольника Тогда — серединный перпендикуляр к поэтому

Выберем точки и так, что точки и — середины отрезков и соответственно. Поскольку и отрезок является средней линией в треугольнике то есть — середина

Поскольку четырехугольник является параллелограммом верно, что то есть четырехугольник вписан. При гомотетии с коэффициентом с центром в точки переходят в точки соответственно, то есть четырехугольник вписан.

По теореме Монжа из этого следует, что перпендикуляры из на из на и из на пересекаются в одной точке. Но первые два перпендикуляра пересекаются в точке значит,

Случай следует из симметрии; без ограничения общности будем считать, что

Выберем на точку так, что — равнобокая трапеция. Тогда и, аналогично, Значит, и Поэтому гомотетия с центром переводящая отрезок в переводит треугольник в следовательно, точка (а потому и точка ) лежит на

Пусть — центр окружности, описанной около треугольника Тогда Поскольку получаем то есть касается в точке Так как то также касается

Пусть — окружность, описанная около треугольника тогда и гомотетичны с центром в поскольку Значит, также является касательной к Кроме того, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку поэтому Итак, то есть касается описанной окружности треугольника и в точке Отсюда и следует требуемое.

Пусть — точка пересечения медиан треугольника Сделаем гомотетию с центром в точке и коэффициентом . Пусть точки и при этой гомотетии перешли в точки и соответственно. Тогда точка лежит на прямой так, что — середина отрезка так как точка перешла при этой гомотетии в точку Аналогично точка — середина отрезка Следовательно, прямая — средняя линия четырёхугольника а значит, Учитывая, что и мы получаем утверждение задачи.

Пусть — центр внутренней гомотетии окружностей и вписанная окружность треугольника касается в точке вписанная окружность треугольника — в точке — в точке и пусть — диаметр Тогда лежат на одной прямой и лежат на одной прямой (поскольку вписанная и вневписанная окружности гомотетичны относительно ). Аналогично лежат на одной прямой. Значит, совпадает с Следовательно, совпадают середины отрезков и

Первое решение.

Пусть оставшаяся медиана пересекает сторону в точке тогда Отметим равные углы, используя параллельность (средняя линия) и вписанность .

Далее воспользуемся подобием (у них пара равных углов по две дужки и один общий):

Так как то

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть при гомотетии с центром в точке и коэффициентом точка переходит в точку тогда а по свойству центроида где — середина

Описанная окружность треугольника переходит в описанную окружность треугольника по теореме о пересекающихся хордах в получившейся окружности

Пусть — точка на прямой такая, что Согласно условию, четырехугольник является вписанным. Таким образом, если лежит между и то точки и находятся по разные стороны прямой и мы заключаем, что является вписанным четырехугольником. И если лежит между и то аналогичный аргумент показывает, что но теперь точки и лежат на одной стороне так что является вписанным четырехугольником.

В любом случае мы получаем равенство из которого следует, что Таким образом, треугольники и либо гомотетичны, либо совмещаются параллельным переносом. Более конкретно, треугольник является изображением в соответствии с отображением которое переносит точки соответственно в и является либо гомотетией, либо параллельным переносом. Заметим, что однозначно определяется этими условиями и только положением точек

Пусть теперь — точка на прямой такая, что Те же рассуждения, что и выше, применимы к точкам вместо подразумевая, что треугольник подобен при том же отображении Таким образом, отправляет четыре точки соответственно в

Если так что является гомотетией с центром то прямые — то есть прямые — параллельны в точке И поскольку и являются вписанными четырехугольникам, справедливы равенства

показывающие, что четырехугольник является вписанным.

Наконец, если так что — это параллельный перенос, то Таким образом, и — равнобедренные трапеции. Тогда также является равнобедренной трапецией, следовательно, четырёхугольник вписанный.

Пусть Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом Треугольники и подобны с коэффициентом откуда и

Пусть Ясно, что точки и лежат на одной прямой. Точки и лежат с одной стороны от прямой Аналогично они лежат с одной стороны от прямой Значит, и также лежат с одной и той же стороны от этих прямых, поскольку Значит, и тоже лежат с одной стороны от каждой из этих прямых. Более того, точки и лежат на одной стороне от в то время как и лежат на противоположной стороне.

Из гомотетии имеем: следовательно вписанный. Значит,

Продолжим отрезок до пересечения с плоскостью в точке Так как плоскости и симетричны относительно биссекторной плоскости, то Аналогично по точкам и строим точки и При гомотетии с центром и коэффициентом плоскость переходит в плоскость поэтому что и требовалось доказать.