Медианы

Первое решение.

Вспомним следующую конструкцию: проведем две перпендикулярные прямые и на одной из них отметим точку, из которой отложим два равных угла, получив прямоугольный треугольник. Тогда где и — отрезки, на которые проведенная биссектриса делит сторону треугольника. Это следует из свойства биссектрисы: пусть — гипотенуза, — катет, тогда и так как получаем Также проведем медиану из отмеченной точки. Она будет пересекать катет выше биссектрисы в силу

По свойству точки пересечения медиан, . Пусть . Отметим — середину , тогда .

Проведем биссектрису угла . По сказанному ранее (биссектриса пересечет в точке, которая находится ниже — середины )

Треугольник — тупоугольный, поэтому так как опирается на тупой угол. Проведем биссектрису угла . Она пересечет ниже, чем точка — середина Поэтому

Итого получаем

То есть

Складывая, получаем

Второе решение.

Пусть — медиана равнобедренного треугольника , проведенная к основанию , тогда отрезок перпендикулярен основанию по свойству равнобедренного треугольника. По свойству точки пересечения медиан, . Обозначим и . Тогда неравенство равносильно неравенству . Последнее неравенство очевидно в случае, когда , так как

Пусть теперь . Из прямоугольного треугольников и имеем: , , значит, . Так как углы и лежат в интервале , то неравенство равносильно неравенству , то есть .

Рассмотрим разность

Так как , то и , и, значит,

следовательно, .