Тема Треугольники и их элементы

Медианы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники и их элементы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79117

Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно треугольника $ABC.$ На продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ отмечена точка $D.$ Оказалось, что $BC = BD = 2$ и $AN =3.$ Докажите, что $∘ ∠ADC = 90.$

Показать доказательство

$PIC$

Обозначим через $K$ точку пересечения медиан $AN$ и $CM.$ По свойству медиан $KC = 2KM$ и $AK = 2KN.$ Поскольку к тому же $AN = 3,$ то $KN = 1.$ Таким образом в треугольнике $BKC$ медиана к стороне $BC$ равна $1= BC∕2,$ поэтому $∠BKC = 90∘.$ Это означает, что $BK$ — высота треугольника $BCD,$ в котором $BD = BC.$ Следовательно, $BK$ — его медиана. Поэтому $DK = KC = 2KM,$ откуда $KM = DK ∕2= DM.$ Получается, что диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то есть $ADBK$ — параллелограмм. Значит, $BK ∥AD.$ откуда $∠ADC = ∠BKD =90∘$ , что и требовалось доказать.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#58010

В треугольнике $ABC$ медиана, проведённая из вершины $A,$ в четыре раза меньше стороны $AB$ и образует с этой стороной угол $60∘.$ Найдите угол $∠BAC.$

Показать ответ и решение

Обозначим медиану из вершины $A$ через $AM.$

Первое решение.

Опустим перпендикуляр $BH$ на прямую $AM.$ Тогда в прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ равен половине гипотенузы $AB,$ так как лежит напротив угла в $30$ градусов. А ещё по условию $1 AM = 4AB.$ Тогда $AB- AB- AB- MH =AH − AM = 2 − 4 = 4 =AM.$ Получили, что в четырёхугольнике $ABHC$ диагонали точкой пересечения $M$ делятся пополам, а значит, это параллелограмм, так что $∘ ∠CAH =∠AHB = 90 .$ В итоге $∘ ∘ ∘ ∠ABC =60 + 90 =150 .$

$PIC$

Второе решение.

Отметим ещё середину $AB$ — как $D,$ а середину $AD$ — как $E.$ Тогда $AE = 14AB,$ а ещё по условию $AM = 14AB.$ Так что треугольник $AME$ — равносторонний ( $AE =AM$ ) с углом при вершине $A$ в $60∘,$ значит, он равносторонний.

Тогда $∠DEM = 120∘,$ как смежный с углом в $60∘.$ Далее, $EM =AE = DE,$ поэтому треугольник $AMD$ — прямоугольный, и $∠EDM = 30∘.$ Смежный с ним $∠BDM = 150∘.$ С другой стороны, этот же угол равен $∠BAC,$ так как $DM$ — средняя линия треугольника $ABC$ — параллельна $AC.$

$PIC$

Третье решение.

Не будем думать и просто посчитаем:

1) по теореме косинусов для треугольника $AMB$

BM2 =AM2 + (4AM)2− 2⋅AM ⋅(4AM )⋅cos60∘ = 13AM2

2) по формуле медианы (при удвоение медианы получается параллелограмм, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон)

(2AM )2 +BC2 = 2(AC2 +AB2 ) =⇒ 4AM2 + 4⋅13AM2 = 2AC2 +32AM2

12AM2 = AC2

3) по теореме косинусов для треугольника $ABC$

(2BM )2 = (4AM )2+ AC2− 2⋅(4AM )⋅AC cos∠BAC

2 2 2 √-- 2 4⋅13AM = 16AM + 12AM − 8⋅ 12⋅AM cos∠BAC

-24- √3- ∘ cos∠BAC = −8√12-= − 2 =⇒ ∠BAC =150

Ответ:

$150∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68554

Из медиан треугольника $ABC$ составлен треугольник $A B C , 1 1 1$ а из медиан треугольника $A B C 1 1 1$ составлен треугольник $A B C . 2 2 2$ Докажите, что треугольники $ABC$ и $A2B2C2$ подобны, и найдите коэффициент подобия.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала надо построить треугольник A₁B₁C₁. Вы же помните, как выражается вектор медианы через вектора сторон?

Подсказка 2

Если проведена медиана AM₁, то вектор AM₁ равен полусумме векторов AB и AС. Нетрудно увидеть, что сумма векторов AM₁, BN₁ и CK₁ равна 0 (BN₁ и CK₁- векторы оставшихся медиан), а значит из них действительно можно сложить треугольник. Может тогда посмотрим, как выражаются медианы треугольника A₁B₁C₁?

Подсказка 3

Мы знаем, что для векторов нашего треугольника A₁B₁C₁ верны следующие равенства: A₁B₁= AM₁, B₁C₁=BN₁, C₁A₁=CK₁. Тогда вектор медианы A₁M₂ равен полусумме векторов AM₁ и K₁C. Как тогда можно выразить вектор A₁M₂ через вектора треугольника ABC?

Подсказка 4

A₁M₂=(AM₁+M₁C)/2=(AB+AC+BC+AC)/4=3*AC/4. Осталось аналогично выразить остальные векторы медиан B₁N₂ и C₁K₂ и завершить решение!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть медианы $△ABC$ будут $′ AA ,...$ и аналогично для $△A1B1C1$ ( $′′ A1A ,...$ ). Тогда из $△ABC$ имеем

−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ −A−→A ′ =AB-+-AC , −B−B→′ = BA+-BC-, −C−C→′ = CB+-CA 2 2 2

Заметим, что сумма всех векторов равна нулю, поэтому из них можно составить треугольник. Это важно, поскольку тогда мы можем использовать их в качестве сторон $A1B1C1$ ( $−A−→A′ → −A−1−B→1,−B−B→′ → −B−−1→C1,−C−C→′ → −C−1−→A1$ ). Далее из треугольника $△A1B1C1$ получим

−−−→ −−−→ −−−→ −→ −→ −−→ −→ −→ A1A′′= A1B1-+A1C1 = AB-+AC-+-BC-+AC- = 3AC-- 2 4 4

Здесь мы воспользовались тем, что $−A→B + −−B→C +−C→A = −→0 .$ Повторяя аналогичные рассуждения для остальных сторон, получаем подобие с коэффициентом $34.$

Второе решение.

Если стороны треугольника равны $a,b,c,$ то квадраты длин медиан выражаются по формулам

m2 = 2b2+-2c2-− a2 a 4

2 2c2+-2a2− b2 mb = 4

2 2a2+ 2b2− c2 mc = ----4------

Тогда у треугольника $A2B2C2$ квадраты длин сторон, как медианы треугольника $A1B1C1,$ выражаются по формулам

2 2 2 2m-b +2m-c − m-a= 4

= -1⋅(2(2b2+ 2c2− a2)+2(2c2+ 2a2− b2)− (2a2+ 2b2− c2)) 16

-1 ( 2) ( 3c)2 = 16 ⋅9c = 4

Далее аналогично считаются длины оставшихся двух сторон. В итоге у треугольника $A2B2C2$ стороны равны $34c,34b,34a,$ поэтому он подобен исходному треугольнику со сторонами $a,b,c,$ коэффициент подобия равен $3. 4$

Ответ:

$3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74434

Докажите, что медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Показать доказательство

$PIC$

Обозначим площадь треугольника через $6S.$ Обозначим точки как показано на рисунке. Площадь $ΔACC1 = 3S$ (у треугольников $ACC1$ и $BCC1$ общая высота и равные основания). По свойству центра тяжести $CMMC1-=2,$ а значит $SSΔΔAAMCCM1-= 2.$ Отсюда получаем, что $SΔAMC1 =S.$ Аналогично доказывается, что площадь остальных маленьких треугольников равна $S.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31726

На медиану $BM$ треугольника $ABC$ опустили перпендикуляр $AL$ и перпендикуляр $DK$ из некоторой точки $D$ на стороне $AB$ ( $L$ и $K$ — различные точки, лежащие внутри $BM ).$ Оказалось, что $BK = LM.$ Докажите, что $CD = BD + AB.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С суммой BD+AB неудобно работать, было бы удобнее спрямить ее в одну прямую. Для этого продлим АВ на BD за точку А, отметим так точку Е.

Подсказка 2

Нам бы хотелось доказать, что ЕМ параллельно DK, а там еще и равные отрезки отсекаются ими, есть какое-то утверждение, помогающее нам доказать эта параллельность!

Подсказка 3

Теорема Фалеса, например! Таким образом, нашли еще один прямой угол - теперь в треугольнике ЕМВ. Осталось им воспользоваться и доказать требуемое!

Показать доказательство

$PIC$

Продлим $BA$ за точку $A$ на $AE =BD.$ Из $BK = LM$ и $DK ∥AL$ по теореме Фалеса следует $EM ∥AL,$ то есть $∘ ∠EMB = 90 .$ Пусть $N$ — середина $BE$ и $AD.$ Тогда $MN =CD ∕2,$ как средняя линия, и $MN = BE ∕2= (AB + AE)∕2= (AB + BD)∕2,$ как медиана из прямого угла, откуда и получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#51006

Продолжения медиан $AM$ и $BK$ треугольника $ABC$ пересекают описанную около него окружность в точках $E$ и $F$ соответственно, причем $AE :AM = 2:1,$ $BF :BK = 3:2.$ Найти углы треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Из условия следует, что хорды $BC$ и $AE$ в точке $M$ пересечения делятся пополам, поэтому $ACEB$ — параллелограмм, вписанный в окружность, следовательно, он является прямоугольником. Итак, $π ∠BAC = 2$ и $M$ — центр окружности. Пусть $KF = x,$ тогда из условия следует, что $BK = 2x.$ По теореме о пересекающихся хордах окружности, $BK ⋅KF =AK ⋅KC.$

Но $KC = AK,$ поэтому $2 2 √- AK = 2x ,AK = x 2.$ Из прямоугольного треугольника $BAK$ находим $√---2----2- √ - AB = BK − AK =x 2.$ Итак, катеты треугольника $ABC$ равны $√- x 2$ и $√- 2 2x,$ поэтому его углы равны $π 2,$ $π arctg2 и 2 − arctg2$

Ответ:

$π ,arctg2,π− arctg2 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#58323

На продолжении за точку $C$ стороны $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ выбрана точка $M$ , через неё проведена прямая, параллельная $AC$ . Эта прямая пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $N$ . Медианы треугольника $BNM$ пересекаются в точке $O$ . Точка $D$ — середина $AM$ . Найдите углы треугольника $ODC.$

Источники: Бельчонок-2022, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Проведем отрезок АК такой, чтобы АК было параллельно СМ! Заметим, что тогда АКМС это параллелограмм.

Подсказка 2

Давайте заметим, что треугольник BNM правильный, откуда для его центра O: OM = ON ! Тогда мы можем попробовать отметить равные углы и равные отрезки на нашей картинке (их тут много!)

Подсказка 3

Попробуйте доказать, что треугольники KON и COM равны, и, используя, что D - точка пересечения диагоналей параллелограмма, подсчитать углы в треугольнике!

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим $K ∈NM, AK ∥CM$ , откуда $AKMC$ — параллелограмм. Заметим, что

В $△AKN :∠N = 60∘,AK ∥BC$ , откуда он равносторонний и $NK = NA =MC$ (в силу симметрии).
Треугольник $BNM$ правильный, откуда для его центра $O$ : $OM = ON$ .
Аналогично предыдущему $∠KNO = ∠N2-= ∠M2-= ∠CMO =30∘$ .

Отсюда по двум сторонам и углу между ними $△KON =△COM$ , тогда $OK = OC$ . Поскольку $D$ является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, то $KD =DC$ и $OD$ является медианой равнобедренного $△KOC$ . Отсюда $∘ ∠ODC = 90$ и

∠KOC ∠KOM + ∠MOC ∠KOM +∠KON ∠NOM ∠DOC = --2--= ------2------ = ------2------= ---2-- =60∘

снова пользуясь правильностью $△BNM$ . В итоге получаем $∠OCD = 180∘− ∠DOC − ∠CDO = 30∘$ .

Ответ:

$90∘,60∘,30∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92050

Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 3,AC = √73$ и медианой $AM = 4$ .

а) Докажите, что медиана $AM$ перпендикулярна стороне $AB$ .

б) Найдите высоту треугольника $ABC$ , проведённую из вершины $A.$

Показать ответ и решение

$PIC$

а) Решение 1. Вспомним формулу для медианы.

2 2 2 AM2 = 2AB--+-2AC-−-BC-- 4

Значит, $BC2 = 2AB2 +2AC2 − 4AM2 = 100$ . Тогда $BC = 10$ и $BM = 5$ . Тогда $AB2 +AM2 = BM2$ и поэтому треугольник прямоугольный.

Решение 2. Удвоим медиану $AM$ до $A ′$ . Тогда $AB2 +AA ′2 = 73= BA′2$ . Значит, $∠BAA ′ =90∘$ .

б) Заметим, что высота в треугольнике $ABC$ , проведённая из вершины $A$ совпадает с высотой в треугольнике $ABM$ , проведённая из вершины $A$ . Треугольник $ABM$ прямоугольный, и значит,

S = AB⋅AC-= 6= AH-⋅BM- ABM 2 2

Значит, $AH = 12- 5$ .

Ответ:

б) $12 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92052

Медианы $AA ,BB 1 1$ и $CC 1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M.$ Известно, что $AC =3MB$ .

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан $AA1$ и $CC1$ , если $AC =30.$

Показать ответ и решение

а) Пусть $BM =2a$ . Тогда $MB ′ = a$ , так как точка пересечения медиан $M$ делит каждую медиану в отношении 2 : 1. По условию $AC = 3BM = 6a$ . Тогда $AM = MB = MC = 3a$ и поэтому угол $B$ прямой.

$PIC$

б) По теореме Пифагора

AA21+CC21 = AB2+ BA ′2+ CB2+ BC ′2 = AB2 + BC2+ CB2 + BA2-= 4 4

= 5(AB2+ BC2)= 5AC2 = 1125 4 4

Ответ: 1125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#97833

Дан треугольник $ABC,$ в котором $AB = 5.$ Медиана $BM$ перпендикулярна биссектрисе $AL.$ Найдите $AC.$

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 8 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать про треугольник ABM, учитывая условие перпендикулярности?

Подсказка 2

Правильно, он равнобедренный с основанием BM. Чему же тогда равно AС, учитывая, что M середина AC?

Показать ответ и решение

Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AL$ и $BM$ .

$PIC$

В треугольнике $ABM$ биссектриса $AL$ является высотой, поэтому треугольник $ABM$ равнобедренный. Следовательно,

AC = 2AM = 2AB = 2⋅5= 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#69043

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ . Пусть $M$ — точка пересечения медиан. Докажите, что $∠BAM < 2∠MAC$ .

Источники: БИБН - 2021, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как должны располагаться биссектриса и медиана, проведенные из острого угла прямоугольного треугольника? Что будет лежать выше?

Подсказка 2

Конечно, медиана будет пересекать катет выше биссектрисы! Что это говорит о углах, на которые медиана делит острый угол? Как же теперь использовать данный факт в нашей задаче?

Подсказка 3

Например, прямоугольный треугольник можно получить, если провести высоту ВК из вершины В, на ней же лежит и точка М. Вспомните, в каком отношение М делит ВК.

Подсказка 4

В отношении 2 к 1, считая от В. Тогда можно отметить Р — середину ВМ. Теперь есть две медианы АР и АМ в △ВАМ и △РАК соответственно, значит, можно применить выше упомянутое свойство (возможно, оно работает не только для прямоугольных треугольников, выясните)

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Вспомним следующую конструкцию: проведем две перпендикулярные прямые и на одной из них отметим точку, из которой отложим два равных угла, получив прямоугольный треугольник. Тогда $a <b$ где $a$ и $b$ — отрезки, на которые проведенная биссектриса делит сторону треугольника. Это следует из свойства биссектрисы: пусть $y$ — гипотенуза, $x$ — катет, тогда $ab = xy$ и так как $x< y,$ получаем $a< b.$ Также проведем медиану из отмеченной точки. Она будет пересекать катет выше биссектрисы в силу $a <b.$

$PIC$

По свойству точки пересечения медиан, $BM :MK = 2:1$ . Пусть $BM = 2x, MK = x$ . Отметим $P$ — середину $BM$ , тогда $BM =P M = x$ .

Проведем биссектрису угла $BAK$ . По сказанному ранее $∠MAK >∠P AM$ (биссектриса пересечет $BK$ в точке, которая находится ниже $M$ — середины $PM$ )

Треугольник $ABM$ — тупоугольный, поэтому $AB >AM$ так как $AB$ опирается на тупой угол. Проведем биссектрису угла $BAM$ . Она пересечет $BM$ ниже, чем точка $P$ — середина $BM.$ Поэтому $∠BAP < ∠P AM$

Итого получаем

∠MAK > ∠P AM > ∠BAP

То есть

{ ∠MAK > ∠P AM ∠MAK > ∠BAP

Складывая, получаем

2∠MAK > ∠PAM + ∠BAP

2∠MAC > ∠BAM

Второе решение.

$PIC$

Пусть $BK$ — медиана равнобедренного треугольника $ABC$ , проведенная к основанию $AC$ , тогда отрезок $BK$ перпендикулярен основанию $AC$ по свойству равнобедренного треугольника. По свойству точки пересечения медиан, $BK :MK = 3:1$ . Обозначим $∠MAK = α$ и $∠BAK = β$ . Тогда неравенство $∠BAM < 2∠MAC$ равносильно неравенству $β < 3α$ . Последнее неравенство очевидно в случае, когда $α≥ π6$ , так как $β < π2.$

Пусть теперь $α< π6$ . Из прямоугольного треугольников $ABK$ и $AMK$ имеем: $tgβ = BAKK-$ , $tgα = MAKK-$ , значит, $tgβ = 3tgα$ . Так как углы $β$ и $3α$ лежат в интервале $(0;π2)$ , то неравенство $β <3α$ равносильно неравенству $tgβ <tg3α$ , то есть $3tgα <tg3α$ .

Рассмотрим разность

tg3α − 3 tgα =(tg3α− tgα)− 2tgα=---sin2α-- − 2sinα-= 2sinα-− 2-sinα cos3α⋅cosα cosα cos3α cosα

Так как $0< α < π 6$ , то $0< cos3α <cosα$ и $sinα >0$ , и, значит,

(--1-- -1--) 2sinα cos3α − cosα > 0

следовательно, $tg3α− 3tgα> 0$ .

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#74336

Источники: Олимпиада Эйлера, 2019, ЗЭ, 6 задача(см. old.mccme.ru)

Показать доказательство

Обозначим через $K$ точку пересечения медиан $AN$ и $CM.$

$PIC$

По свойству медиан $KC = 2KM$ и $AK = 2KN.$ Поскольку к тому же $AN = 3,$ то $KN = 1.$ Таким образом в треугольнике $BKC$ медиана к стороне $BC$ равна $1 =BC ∕2,$ поэтому $∠BKC =90∘.$ Это означает, что $BK$ — высота треугольника $BCD,$ в котором $BD = BC.$ Следовательно, $BK$ — его медиана. Поэтому $DK = KC = 2KM,$ откуда $KM = DK∕2= DM.$

Получается, что диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то есть $ADBK$ — параллелограмм. Значит, $BK ∥ AD,$ откуда $∠ADC = ∠BKD = 90∘.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#42787

В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, их длины равны $18$ см и $24$ см. Вычислите площадь треугольника (ответ введите в квадратных сантиметрах).

Источники: Муницип - 2018, Вологодская область, 9.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое отношение у медианы мы знаем? Оно связано с точкой пересечения медиан)

Подсказка 2

То, что медиана точкой пересечения делится в отношении 2 к 1! Попробуйте с помощью этого выразить площадь всего треугольника через маленький треугольник, образованный большими кусочками медиан, а дальше вычислить площадь этого маленького треугольника)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть это медианы $BE = 18,AD = 24$ в треугольнике $ABC$ и пересекаются они в точке $M$ . В силу свойств медиан,

AM = 2AD =⇒ SABM = 2SABD = 1SABC = BM-⋅AM-= 16⋅12= 96 3 3 3 2 2

Значит, $SABC = 96⋅3= 288$ .

Ответ: 288

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#74567

Боря нарисовал девять отрезков, три из которых равны трём высотам треугольника $ABC,$ три — трём биссектрисам, три — трём медианам. Оказалось, что для любого из нарисованных отрезков среди остальных восьми найдётся равный ему. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Источники: Олимпиада Эйлера, 2017, дистанционный этап

Показать доказательство

Пусть $AA 1$ — самая короткая из высот треугольника $ABC.$ Если она равняется медиане $AA 2$ или биссектрисе $AA , 3$ то треугольник, очевидно, равнобедренный. Если она равна медиане $BB2$ или биссектрисе $BB3,$ то тогда $AA1$ не короче высоты $BB1.$ Значит, она равна $BB1,$ так как по нашему предположению $AA1$ — самая короткая из высот. Итак, всё свелось к случаю, когда $AA1 = BB1.$ Но тогда прямоугольные треугольники $ABA1$ и $BAB1$ равны по катету и гипотенузе, откуда $∠A = ∠B.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#38695

В треугольнике $ABC$ медиана, выходящая из вершины $A$ , перпендикулярна биссектрисе угла $B$ , а медиана, выходящая из вершины $B$ , перпендикулярна биссектрисе угла $A$ . Известно, что $AB = 2$ . Найдите периметр треугольника.

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 9.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как два условия похожи друг на друга, то начнем разбираться только с одним из них. Обозначим медиану за AM , а её точку пересечения с биссектрисой за L. Что мы можем сказать про △AMB?

Подсказка 2

BL - одновременно биссектриса и высота, значит, △AMB - равнобедренный. Как теперь найти BC?

Подсказка 3

Так как M - середина BC, то BC = 2 * BM = 4. Для периметра осталось узнать AC. Как это можно сделать?

Показать ответ и решение

Обозначим медиану за $AM$ , а её точку пересечения с биссектрисой за $L$ . Тогда в треугольнике $AMB$ отрезок $BL$ является биссектрисой и высотой одновременно, а значит, треугольник $AMB$ — равнобедренный. Откуда $1 AB =BM = 2BC$ , то есть $BC = 4$ . Аналогично, $AC = 4$ , откуда получаем, что периметр треугольника равен $4+ 4+ 2=10.$

$PIC$

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#47237

Периметр треугольника $ABC$ равен $24$ cм, а отрезок, соединяющий точку пересечения его медиан с точкой пересечения его биссектрис, параллелен стороне $AC$ . Найти длину $AC$ .

Источники: Всесиб-2013, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

Обозначим через $AK$ медиану из вершины $A$ , через $M$ - точку пересечения медиан $ABC$ , через I - точку пересечения его биссектрис $AA1,BB1,CC1$ . Проведём через $K$ прямую параллельно $AC$ , пересекающую биссектрису $BB1$ в точке $P$ - её середине. По теореме Фалеса $PI :IB1 =KM :MA = 1:2,$ поэтому $BI :IB1 = 2:1$ . По свойству биссектрис $AI$ и $CI$ в треугольниках $ABB1$ и $CBB1$ имеем $AB :AB1 = BI :IB1 = CB :CB1 =2 :1$ . Отсюда $AC = 12(AB + BC)= 13(AB +BC + AC)= 8.$

Второе решение.

$PIC$

Пусть $AA2,BB2$ — биссектрисы, $BB1,CC1$ — медианы, $BH$ — высота, $P$ — периметр $△ABC.$ Пусть $I =AA2 ∩BB2,Z = BB1∩ CC1$ , тогда $IZ ∥ AC.$ Отсюда следует

3 ρ(I,AC)= r= ρ(Z,AC ) =⇒ ρ(C1,AC )= 2r

ρ(C1,AC)= 3r =⇒ ρ(B,AC )= BH =2ρ(C1,AC )= 3r 2

Из отношения высот получим

SAIC- -r⋅AC-- 1 SABC = BH ⋅AC = 3

S r ⋅AC AC 1 P SAABICC--=-P-⋅r- =-P- = 3 =⇒ AC = 3-= 8

Ответ:

$8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#97375

Будем называть четырехугольник равнодиагональным, если у него равны диагонали. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника $ABCD,$ делит его на два равнодиагональных четырехугольника. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ сам равнодиагональный.

Источники: СПБГОР - 2013, 10.2(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Как переписать условие задачи на язык векторов? Введите векторы сторон, из них легко выразить условие задачи. Как из двух условий получить утверждение задачи?

Показать доказательство

Первое решение

Без ограничений общности будем считать, что указанный отрезок соединяет середины сторон $AB$ и $CD.$ Введем вектора $a,b,c,d$ таким образом, что

−→ −−→ −−→ −−→ AB =2a,BC = 2c,CD = 2b,DA = 2d

$PIC$

Поскольку диагонали образованных четырехугольников равны имеют место равенства

(2c+a)2 = (b+ 2c)2;(a +2d)2 =(2d+ b)2

Здесь и далее, для любых двух векторов $u,v :u⋅v = (u,v).$ Таким образом, вычитая второе равенство из первого, получим

2(a− b)(a +b+ c)=2(a− b)(a+ b+d)

(a− b)(c− d)= 0

Поскольку $a+ b+ c+d =0,$ имеем

(a− b)(a+ b+2c)= 0

(a+c)2 = (b+ c)2

следовательно, диагонали исходного четырехугольника так же равны.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение

Пусть $K$ и $M$ — середины сторон соответственно $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD.$ Из признака равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей следует равенство треугольников $CKD$ и $BMA,$ поэтому $CD = AB,$ а значит, $CM = BK.$ Треугольники $KBC$ и $MCB$ равны по трём сторонам, поэтому $∠BKC =∠BMC.$ Тогда

∠AKC = 180∘− ∠BKC =180∘− ∠BMC = ∠BMD

Тогда треугольники $AKC$ и $DMB$ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, $AC = BD.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#64852

Медианы $AL$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K$ . Найдите длину отрезка $CK$ , если $AB = √3$ и известно, что вокруг четырехугольника $KLCM$ можно описать окружность.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Назовём третью медиану CN. Заметим, что LM — средняя линия △АВС. Поотмечайте вытекающие из этого равные углы. Также отметьте доступные Вам равенства во вписанном четырёхугольнике KLСМ.

Подсказка 2

Удаётся ли заметить что-нибудь интересное? Например, подобные треугольники. Рассмотрите внимательно △AKN и △ANC, сколько у них пар соответственно равных углов?

Подсказка 3

Запишите отношения соответственных сторон в подобных треугольниках. Какие-то стороны Вы знаете, в других Вам известно лишь отношение — Вы ведь знаете, в каком соотношении медианы делятся точкой пересечения. Осталось лишь найти из получившегося равенства искомый отрезок!

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

Пусть оставшаяся медиана $CK$ пересекает сторону $AB$ в точке $N,$ тогда $CK :KN = 2:1.$ Отметим равные углы, используя параллельность $LM ∥AB$ (средняя линия) и вписанность $KLCM$ . Далее воспользуемся подобием $△ANK ∼ △CNA$ (у них пара равных углов по две дужки и один общий):

NK- = AN- AN NC

√------- ∘ CK---3CK-- √3- AN = NK ⋅NC = 2 ⋅ 2 = 2 CK

Так как $AB- √3 AN = 2 = 2 ,$ то $CK = 1.$

Второе решение.

$PIC$

Пусть при гомотетии с центром в точке $C$ и коэффициентом $2$ точка $K$ переходит в точку $P,$ тогда $CK = KP,$ а по свойству центроида $CK =2KN,$ где $N$ — середина $AB.$

Описанная окружность треугольника $ABC$ переходит в описанную окружность треугольника $ABC,$ по теореме о пересекающихся хордах в получившейся окружности

AN ⋅NB = CN ⋅NP

√- √- -3-⋅-3= 3CK ⋅ 1CK 2 2 2 2

CK = 1

Ответ:

$1$

Предыдущий раздел

Следующий раздел