Тема Треугольники и их элементы

Медианы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники и их элементы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#64852Максимум баллов за задание: 7

Медианы $AL$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K$ . Найдите длину отрезка $CK$ , если $AB = √3$ и известно, что вокруг четырехугольника $KLCM$ можно описать окружность.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Назовём третью медиану CN. Заметим, что LM — средняя линия △АВС. Поотмечайте вытекающие из этого равные углы. Также отметьте доступные Вам равенства во вписанном четырёхугольнике KLСМ.

Подсказка 2

Удаётся ли заметить что-нибудь интересное? Например, подобные треугольники. Рассмотрите внимательно △AKN и △ANC, сколько у них пар соответственно равных углов?

Подсказка 3

Запишите отношения соответственных сторон в подобных треугольниках. Какие-то стороны Вы знаете, в других Вам известно лишь отношение — Вы ведь знаете, в каком соотношении медианы делятся точкой пересечения. Осталось лишь найти из получившегося равенства искомый отрезок!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть оставшаяся медиана $CK$ пересекает сторону $AB$ в точке $N,$ тогда $CK :KN = 2:1.$ Отметим равные углы, используя параллельность $LM ∥AB$ (средняя линия) и вписанность $KLCM$ .

$PIC$

Далее воспользуемся подобием $△ANK ∼ △CNA$ (у них пара равных углов по две дужки и один общий):

NK- = AN- AN NC

√------- ∘ CK---3CK-- √3- AN = NK ⋅NC = 2 ⋅ 2 = 2 CK

Так как $AB- √3 AN = 2 = 2 ,$ то $CK = 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть при гомотетии с центром в точке $C$ и коэффициентом $2$ точка $K$ переходит в точку $P,$ тогда $CK = KP,$ а по свойству центроида $CK =2KN,$ где $N$ — середина $AB.$

$PIC$

Описанная окружность треугольника $ABC$ переходит в описанную окружность треугольника $ABC,$ по теореме о пересекающихся хордах в получившейся окружности

AN ⋅NB = CN ⋅NP

√- √- -3-⋅-3= 3CK ⋅ 1CK 2 2 2 2

CK = 1

Ответ:

$1$