Биссектрисы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырехугольник 
со сторонами 
и 
вписан в окружность. Прямые 
и 
пересекаются в
точке 
а прямые 
и 
пересекаются в точке 
Биссектриса угла 
пересекает стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно, а биссектриса угла 
пересекает стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно. Найдите длину отрезка 
и площадь четырехугольника 
Источники:
Подсказка 1
Рассмотрите биссектрисы FL и EN.
Подсказка 2
Докажите, что они пересекаются под прямым углом. Для этого можно обозначить величины углов через неизвестные.
Подсказка 3
Каким тогда будет треугольник MFN?
Подсказка 4
Докажите, что KMLN — ромб.
Подсказка 5
Следовательно, площадь KMLN равна KL ⋅ MN / 2. Как можно выразить эти стороны?
Подсказка 6
Рассмотрите треугольники AFB и CFD.
Подсказка 7
Вспомните свойство биссектрисы об отношении сторон в треугольнике, а также формулу для её вычисления.
Докажем, что биссектрисы 
и 
пересекаются под прямым углом. Пусть 
— их точка пересечения. Введем обозначения:
Тогда 
В треугольнике 
В треугольнике 
Получим, что 
В треугольнике 
является биссектрисой и высотой, следовательно, треугольник 
является равнобедренным и 
— медиана. Тогда 
Аналогично, треугольник 
является равнобедренным и 
Выходит, что 
— ромб.
Треугольники 
и 
подобны по 2 углам, тогда
Так как 
— биссектриса в треугольнике 
то
По формуле длины биссектрисы
Раз 
то
Аналогично, треугольники 
и 
подобны по 2 углам. Тогда
Тогда
Значит,
Так как 
то
Треугольник 
— прямоугольный,
В итоге
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
