Биссектрисы

Докажем, что биссектрисы и пересекаются под прямым углом. Пусть — их точка пересечения. Введем обозначения: Тогда В треугольнике

В треугольнике

Получим, что В треугольнике является биссектрисой и высотой, следовательно, треугольник является равнобедренным и — медиана. Тогда Аналогично, треугольник является равнобедренным и Выходит, что — ромб.

Треугольники и подобны по 2 углам, тогда

Так как — биссектриса в треугольнике то

По формуле длины биссектрисы

Раз то

Аналогично, треугольники и подобны по 2 углам. Тогда

Тогда

Значит,

Так как то

Треугольник — прямоугольный,

В итоге

Если каждую сторону во внутренней точке пересекает какая-то биссектриса, то каждую из них пересекает ровно одна.

Пусть для определенности биссектриса угла пересекает сторону (длиной ). Биссектриса угла вообще говоря, может пересекать или но в силу условия пересекает сторону (длиной Аналогично получаем, что биссектриса угла пересекает сторону (длиной и биссектриса угла — сторону (длиной

Пусть биссектриса угла пересекает диагональ в точке а биссектриса угла в точке

Заметим, что по свойству биссектрисы

Но биссектриса угла пересекает диагональ ближе к вершине чем биссектриса угла Значит,

Аналогичное исследование второй диагонали показывает, что

Пришли к противоречию.

Обозначим через и центр вписанной и вневписанной окружности соответственно. Заметим, что прямые и являются внутренней и внешней биссектрисой угла а значит, они перпендикулярны. Аналогично прямые и перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник вписанный в окружность с диаметром Тогда центр этой окружности лежит на прямой то есть на биссектрисе угла и на серединном перпендикуляре к Такая точка единственная и она совпадает с серединой дуги.

Серединный перпендикуляр к и биссектриса угла пересекаются на описанной окружности треугольника следовательно, Аналогично Тогда т.е. точки лежат на одной окружности. Касательная к этой окружности в точке образует с прямой угол, равный Такой же угол образует с касательной к окружности Значит, обе окружности касаются в точке

Пусть пересекает в точке

Тогда — медиана и высота в треугольнике а значит, биссектриса. Откуда дуги и равны. Аналогично дуги и равны. А значит, — центр вписанной окружности в треугольник

Пусть пересекает в точке

Заметим, что четырёхугольник вписанный, так как противоположные углы по Тогда В треугольниках и соответственно равны две пары углов, поэтому получаем оставшееся равенство

Тогда является биссектрисой внешнего угла При этом является биссектрисой внутреннего угла . Значит,   — центр вневписанной окружности треугольника Значит, — биссектриса угла

Первое решение.

Пусть — точка пересечения отрезка и дуги . Так как , то — биссектриса угла и по теореме о трилистнике — центр вписанной в треугольник окружности. Следовательно, — биссектриса угла . С другой стороны, так как серединный перпендикуляр к , то , то есть — биссектриса угла . Из этих двух утверждений следует утверждение задачи.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим . Необходимо доказать, что .

Заметим, что

Далее, , как центральный и вписанный в окружность ( ), а также , как центральный и вписанный в окружность ( ). Тогда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В условии задачи дано, что точки и лежат не только внутри окружности , но и внутри вписанного в неё треугольника . Последнее условие на самом деле излишне. Из остальных условий задачи следует, что точки и изогонально сопряжены относительно треугольника . Но если обе изогональные точки лежат внутри описанной окружности, то они лежат и внутри треугольника, поскольку при изогональном сопряжении три сегмента, ограниченные сторонами треугольника и дугами описанной окружности, переходят в три угла, вертикальных углам треугольника

Биссектриса — это ГМТ точек, равноудалённых от сторон угла. Заметим, что лежит на биссектрисе . Опустим перпендикуляры и на и соответственно. Тогда, так как лежит на биссектрисе .

Так как , а — биссектриса Тогда опустим перпендикуляр на

Так как — биссектриса угла а (доказано выше). Значит, Получается, — биссектрисса . Аналогично доказываем, что — биссектрисса Тогда:

Значит, в угол . — прямоугольный.

Пусть — центр вписанной окружности треугольника Пусть По свойству вписанной окружности и — биссектрисы углов и Тогда По условию поэтому Найдем тогда задача будет решена.

перпендикулярно так как — точка касания вписанной окружности и стороны . Тогда

Таким образом,

Получаем уравнение

По формуле тангенса двойного угла получаем

Сокращаем на и умножаем на знаменатель:

Выражаем квадрат тангенса и получаем

Угол — острый, поскольку сумма углов треугольника равна то есть откуда Получаем, что Тогда Подставим это в формулу для тангенса двойного угла:

Таким образом,

Пусть — середина Тогда Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому и

Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно

Обозначим Тогда

Пусть — середина стороны Тогда Из равнобедренности треугольника находим, что Поэтому Треугольники и равны по стороне и двум углам. Следовательно,

Пусть пересекает в точке Угол тупой, а угол острый, значит лежит между и Далее, т.к. — центр вписанной окружности треугольника, получаем

Значит, треугольники и подобны. Учитывая это и равенство имеем

Кроме того,

Следовательно,

Тогда треугольники и подобны по углу и отношению прилежащих сторон, значит и точки лежат на одной окружности.

Замечание. После доказательства подобия треугольников и можно действовать по-другому. Выберем точку на продолжении отрезка за точку так, что тогда треугольники и равны (). Значит, — равнобокая трапеция, и она вписана. С другой стороны, поскольку точки лежат на одной окружности. Значит, все пять точек лежат на окружности

Первое решение (счетное).

Давайте будет пользоваться свойством биссектрисы:

Тогда:

Теперь подставим это в

Домножим на знаменатели:

Тогда из теоремы косинусов для треугольника следует, что Отсюда получаем ответ.
Второе решение (более идейное).

Отметим точку на отрезке такую что Тогда из условия следует, что Заметим, что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Аналогично равны треугольники Из этого следует:

Теперь воспользуемся тем, что

Тогда по теореме о сумме углов:

Пусть — точка пересечения биссектрис углов и По основному свойству биссектрисы для треугольников и имеем

Приравнивая отношения отрезков, получим

Пусть — биссектриса треугольника тогда но последнее отношение, как следует из доказанного равенства, равно но тогда также является основанием биссектрисы угла

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. В решении мы не пользовались выписанностью четырехугольника.

Рассмотрим треугольник В нем — биссектриса и высота по условию, значит он равнобедренный и Аналогично Заметим, что периметр трегольника — Остается понять, что — средняя линия треугольника а значит равна половине отрезка

Пусть — вершины иходного треугольника, в котором проведена биссектриса Опустим из и перпендикуляры и на Рассмотрим пары подобных треугольников и а также и Имеем равенство соотношений

следовательно,

что и требовалось.

Из условия следует, что точка равноудалена от прямых и Значит, — биссектриса внешнего угла так как равноудалена от и

Таким образом, три отмеченных на картинке угла при вершине равны и в сумме дают значит, каждый из них равен по а сам угол в треугольнике равен

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Значит, — биссектриса угла а — биссектриса угла Осталось заметить, что эти биссектрисы совпадают.

Заметим, что Значит, точка равноудалена от прямых и Но она также равноудалена от прямых и значит она равноудалена от прямых и то есть является биссектрисой угла Аналогично — биссектриса угла Как известно, биссектрисы смежных углом перпендикулярны, что и требовалось.

Пусть Тогда и получится, что сумма углов треугольника больше а сумма углов треугольника — меньше но это невозможно. Значит, и В частности, поэтому стороны и не параллельны, а тогда серединные перпендикуляры к этим сторонам пересекаются в некоторой точке Из сказанного выше а треугольники и равны по трем сторонам. Следовательно, и высоты этих треугольников, проведенные из точки равны, поэтому точка лежит на биссектрисе угла между прямыми и Если она лежит на биссектрисе угла то из равенств и следует равенство углов при вершинах и в треугольнике что невозможно, в силу доказанного ранее. Аналогично, точка не может лежат на биссектрисе угла Следовательно, лежит на внешней биссектрисе угла Поскольку и то точка лежит именно на биссектрисе угла Теперь заметим, что в силу равенства мы получаем, что

Аналогично, такую же величину имеют и углы и Предположим, что Тогда, из сказанного выше, луч идет внутри угла луч — внутри угла а луч — внутри угла поэтому они не могут пересечься в одной точке. Аналогично не возможен и случай Следовательно, а точки и совпадают.

Отметим на отрезке такую точку что Тогда треугольник равносторонний. После этого остается лишь заметить, что треугольники и равны по стороне и двум углам, поэтому откуда и следует требуемое.