Биссектрисы
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
и 
— биссектрисы треугольника 
Длины перпендикуляров, опущенных из вершины 
на прямые 
и 
равны.
Докажите, что треугольник 
равнобедренный.
Источники:
Подсказка 1
Давайте обозначим основание перпендикуляров X и Y. И естественно провести третью биссектрису. Когда есть перпендикуляры, то есть и прямоугольные треугольники. Тогда какая деталь первая бросается в глаза на картинке, зная, что перпендикуляры равны?
Подсказка 2
Верно, можно увидеть равенство прямоугольных треугольников XIN и YIN, где I — точка пересечения биссектрис. Но нам нужна равнобедренность, и один из способов это доказать через углы. Какие же ещё для этого можно увидеть равные треугольники на картинке?
Подсказка 3
Ага, это треугольники NIM и NIP, равные по стороне и двум углам. Но тогда и третий уголок у них равный, а из-за биссектрисы получаем требуемое в задаче. Победа!
Первое решение.
Пусть 
и 
перпендикуляры, опущенные из вершины 
на прямые 
и 
Продолжим перпендикуляры 
и 
до пересечения с прямой 
(точки пересечения соответственно 
и 
). Треугольники 
и 
равнобедренные (биссектрисы
и 
являются высотами), отсюда 
, 
и 
. Из последнего равенства 
.
Тогда треугольники 
и 
равны. Следовательно, 
Второе решение.
Пусть 
— точка пересечения биссектрис треугольника 
Из равенства прямоугольных треугольников 
и 
с общей
гипотенузой следует, что 
Отсюда с учетом равенств 
и 
следует, что
, т.е. 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
