Биссектрисы
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность вписан четырёхугольник 
Отметили центры окружностей, вписанных в треугольники 
Докажите, что отмеченные точки являются вершинами прямоугольника.
Подсказка 1
Давайте попробуем установить связь между сторонами нашего будущего прямоугольника и четырёхугольником ABCD. У нас на картинке есть центры вписанных окружностей, а значит и биссектрисы. Отметим середины дуг. Что можно сказать об отрезке, который соединяет центры вписанных окружностей треугольников с общей стороной?
Подсказка 2
Центры вписанных окружностей треугольников с общей стороной равноудалены от середины дуги, стягивающейся общей стороной! Тогда мы можем найти вписанные четырёхугольники, одна сторона которых совпадает со стороной нашего будущего прямоугольника ;)
Подсказка 3
Отлично, теперь у нас есть 4 новых вписанных четырёхугольника, в каждом из которых мы можем отметить равные углы, опирающиеся на одни дуги. Но заметим, что некоторые из таких углов вписаны и в окружность (ABCD)! Тогда мы можем записать цепочку равенств вписанных углов из разных окружностей.
Подсказка 4
Каким тогда отрезкам будут параллельны стороны нашего будущего прямоугольника?
Подсказка 5
Стороны будущего прямоугольника параллельны отрезкам, соединяющим середины противоположных дуг!
Обозначим центры окружностей через 
соответственно. Пусть 
— середина дуги 
не содержащей точек 
По лемме
о трезубце для треугольников 
имеем
т.е. точки 
лежат на одной окружности.
Далее предложим два способа закончить решение.
Первый способ. Из вписанности четырехугольника имеем
Аналогично вычисляется угол 
Таким образом,
что доказывает требуемое.
.png)
Второй способ. Пусть 
— середины дуг 
соответственно, тогда прямые 
и 
пересекают описанную
окружность четырехугольника в точках 
соответственно. Заметим, что из обозначенных вписанностей следует,
что
то есть 
откуда следует 
Аналогично, 
следовательно, противоположные стороны
четырехугольника параллельны.
.png)
Осталось проверить, что его соседние стороны перпендикулярны. Если 
— середина дуги 
то последнее равносильно 
Это верно, поскольку угол между прямыми равен полусумме дуг 
и 
а значит, равен четверти сумм всех дуг, т.е.
.png)
Замечание. Можно показать, что стороны прямоугольника 
так же параллельны или перпендикулярны биссектрисам углов,
образованных парами прямых, содержащих противоположные стороны четырехугольника 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
