Биссектрисы

Пусть Тогда и получится, что сумма углов треугольника больше а сумма углов треугольника — меньше но это невозможно. Значит, и В частности, поэтому стороны и не параллельны, а тогда серединные перпендикуляры к этим сторонам пересекаются в некоторой точке Из сказанного выше а треугольники и равны по трем сторонам. Следовательно, и высоты этих треугольников, проведенные из точки равны, поэтому точка лежит на биссектрисе угла между прямыми и Если она лежит на биссектрисе угла то из равенств и следует равенство углов при вершинах и в треугольнике что невозможно, в силу доказанного ранее. Аналогично, точка не может лежат на биссектрисе угла Следовательно, лежит на внешней биссектрисе угла Поскольку и то точка лежит именно на биссектрисе угла Теперь заметим, что в силу равенства мы получаем, что

Аналогично, такую же величину имеют и углы и Предположим, что Тогда, из сказанного выше, луч идет внутри угла луч — внутри угла а луч — внутри угла поэтому они не могут пересечься в одной точке. Аналогично не возможен и случай Следовательно, а точки и совпадают.
Отметим на отрезке такую точку что Тогда треугольник равносторонний. После этого остается лишь заметить, что треугольники и равны по стороне и двум углам, поэтому откуда и следует требуемое.