Тема Четырёхугольники

Параллелограмм

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#43635Максимум баллов за задание: 7

Перпендикуляры $BE$ и $DF$ , опущенные из вершин $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ на стороны $AD$ и $BC$ соответственно, делят параллелограмм на три части равной площади. На продолжении диагонали $BD$ за вершину $D$ отложен отрезок $DG$ , равный отрезку $BD$ . Прямая $BE$ пересекает отрезок $AG$ в точке $H$ . Найдите отношение $AH :HG$ . В ответ внесите число в виде десятичной дроби, дробную часть отделяйте запятой.

Источники: Муницип - 2020, Владимирская область, 9.3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хочется разобраться с условием на площади. В нашей ситуации эти площади довольно легко посчитать и найти выгоднее соотношения...

Подсказка 2

S(△ABE)=AE*EB/2, а S(BEDF)=BE*ED ⇒ AE/ED=2/1. Хммм... Очень знакомое отношение, не так ли? Подкрадывается мысль о том, что E- точка пересечения медиан треугольника △ABG. Как это доказать?

Подсказка 3

По условию BD=DG. Значит AD- медиана треугольника △ABG, а E точка, делящая ее в отношении 2 к 1 ⇒ Урааа. Чем же тогда является отрезок BH?)

Показать ответ и решение

По условию $(AE ⋅BE) :2 =ED ⋅BE$ , откуда $AE = 2ED.$

$PIC$

Заметим, что $AD −$ медиана треугольника $ABG.$ Поэтому отрезок $BH$ , делящий медиану $AD$ в отношении $AE :ED = 2$ , тоже медиана треугольника $ABG.$

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#49010Максимум баллов за задание: 7

Точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD.$ Прямая $CM$ наклонена к основанию $AD$ под углом $30∘$ . Вершина $B$ равноудалена от прямой $CM$ и вершины $A$ . Найти углы параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если длина основания $AD$ равна $2.$

Источники: Росатом - 2020, 11.6 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии фигурирует расстояние от точки B до CM, поэтому опустим перпендикуляр из B на CM (назовём его BH), чтобы с этим как-то работать. Обозначим данный нам угол в 30 градусов, попробуем как-то поработать с параллельностью и углами.

Подсказка 2

Отметив ещё один угол в 30 градусов, который возникает из параллельности, находим на картинке прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов. Благодаря этому можно связать длину перпендикуляра из B на CM и сторону параллелограмма. Тогда, использовав условие, мы можем связать две стороны параллелограмма, что даёт нам возможность найти его углы (зная, что CM опущен под углом 30 градусов). Как же найти площадь?

Подсказка 3

Благодаря найденным углам мы можем разбить нашу картинку на несколько равных правильных фигур, у каждой из которых найти площадь по формуле не составит труда)

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

Пусть $BH =x.$ Тогда

По условию BH = AB = CD = x;

∠CMD =∠BCH = 30∘ ⇒ в △HBC BC = 2⋅BH = 2x;

BC =AD =2x⇒ AM = MD = x;

Тогда в $△MDC$

∘ ∘ MD =DC = x; ∠CMD = 30 ⇒ ∠MCD =30

Следовательно, $∠BCD = 60∘, ∠CDA = 120∘$

Теперь легко посчитать площадь параллелограмма:

∠BCD = 60∘;CD =1;BC = 2⇒

SABCD =sin(60∘)⋅1⋅2= √3

Второе решение.

$PIC$

Опустим перпендикуляр $BH$ на $CM$ , отметим середину $N$ отрезка $BC$ и обозначим $E$ — точку пересечения $BH$ и $AN$ . Тогда $AB = BH = 2BE$ , так как $AN ∥CM$ и $N$ — середина $BC$ . Тогда треугольник $ABE$ прямоугольный и $AB = 2BE$ . Значит $∠ABE =60∘$ и $∠NAB = 30∘$ . Так же $∠NAM =∠MCD = 30∘$ из параллельности и поэтому $AN$ биссектриса угла $BAM.$ Четырехугольник $ABNM$ является параллелограммом и при этом $AN$ биссектриса угла $BAM$ . Значит $ABNM$ ромб и $BM ⊥ AN$ , но $BH ⊥ AN$ . Значит, $M = H.$

$PIC$

Тогда $AB = AM$ и $∠ABM = 60∘$ . Значит, треугольник $ABM$ равносторонний со стороной $AM = AD2-=1$ . Тогда $SAMB = √34$ , $SABNM = √3 2$ и $SABCD =√3.$

Ответ:

$60∘$

$∘ 120$

$√- 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#103214Максимум баллов за задание: 7

На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $P,$ не лежащая на диагонали $AC.$ На луче $AP$ взята такая точка $Q,$ что $AP = PQ.$ Через точку $Q$ провели прямую, параллельную стороне $AB,$ она пересекла сторону $BC$ в точке $R.$ Затем через точку $Q$ провели прямую, параллельную стороне $AD,$ она пересекла прямую $CD$ в точке $S.$ Найдите угол $P RS.$

Источники: СПБГУ - 2020, 11.3 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала обозначим различные точки пересечений, например, T — пересечение AB и SQ, M b N — пересечение AD и BD с QR. Были проведены параллельные прямые, не образовалось ли у нас параллелограммов? Что можно сказать об отрезках на их сторонах?

Подсказка 2

ATQM и BTQR — параллелограммы! Какие равенства имеют место быть?

Подсказка 3

MT = TB = QR! Нас просят найти угол PRS, поэтому хотелось бы сказать что-то про треугольники, находящиеся рядом с ним. У нас образовалось немало равных углов и сторон, быть может, поищем подобные треугольники?

Подсказка 4

Попробуем воспользоваться найденным равенством MT = QR и построить подобные треугольники, содержащие эти стороны.

Подсказка 5

Про R нас спрашивают в задаче, поэтому поработаем со стороной MN и проведем через P прямую, параллельную ей. Что можно сказать об образовавшихся отрезках на сторонах параллелограмма и треугольниках?

Подсказка 6

DKP и DMN подобны! Что тогда можно сказать о треугольниках LPS и QRS?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $T$ - точка пересечения прямых $AB$ и $SQ$ , а прямая $QR$ пересекает отрезки $AD$ и $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Так как $AMQT$ — параллелограмм, отрезок $TM$ проходит через точку $P$ и делится в ней пополам. Значит, $△T BP = △MNP,$ откуда

MN = TB = QR

$PIC$

Обозначим через $K$ и $L$ середины отрезков $AM$ и $T Q$ соответственно. Треугольники $APK$ и $QP L$ равны по стороне и двум углам, что дает $P K =LP.$ В силу подобия треугольников $DKP$ и $DMN$

LP-= PK- = MN-= QR- LS KD MD QS

Поэтому треугольники $PLS$ и $RQS$ подобны, и мы получаем $∠LSP =∠QSR.$ Таким образом, точки $S,R$ и $P$ лежат на одной прямой.

$PIC$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть $O$ и $N$ — точки пересечения диагоналей параллелограммов $ABCD$ и $RQSC$ соответственно. Так как $AO = OC,$ отрезок $OP$ — средняя линия треугольника $AQC.$ Поэтому

1 OP ||CQ и OP = 2CQ = CN.

Тогда четырёхугольник $OPNC$ является параллелограммом, откуда $P N||OC$ . Треугольники $ABD$ и $RQC$ подобны, поскольку их соответствующие стороны параллельны. Следовательно,

CD AB RQ SC AD- =AD- = RC-= RC-.

Поэтому треугольники $ADC$ и $RCS$ также подобны и, значит, $∠DAC = ∠CRS.$ Таким образом, прямая $RS$ параллельна $AC,$ а по доказанному выше она параллельна и $P N.$ Поскольку у прямых $RS$ и $PN$ есть общая точка $N,$ они совпадают, откуда $∠P RS = 180∘.$

Ответ:

$180∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#70666Максимум баллов за задание: 7

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD.$ Описанная окружность треугольника $ABC$ пересекает стороны $AD$ и $DC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Описанная окружность треугольника $ADC$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $S$ и $R$ соответственно. Оказалось, что четырехугольник $P QRS$ — параллелограмм. Докажите, что и четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

$PIC$

Источники: СпбОШ - 2015, задача 11.4(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, как и всегда в геометрии, стоит сделать аккуратных чертёж, с которым удобно работать! На что нам намекают окружности, когда нет никаких явных значений длин и почти нет их соотношений?

Подсказка 2

С отрезками работать не особо тут продуктивно, значит будем смотреть на углы! Поотмечайте всякие равные вписанные уголочки. Удаётся ли заметить таким образом пары параллельных прямых?

Подсказка 3

Параллельности, конечно, есть, но пока не те что нам нужны. Что же ещё может нам помочь? Пока мы не использовали тот факт, что внутренний четырёхугольник — параллелограмм!

Подсказка 4

Параллелограмм и параллельности дают нам красивую симметрию! Посмотрите внимательно на точку пересечения диагоналей параллелограмма и задача будет решена.

Показать доказательство

Заметим, что $∠ADR = ∠ACR = ∠ACB = ∠APB$ по свойствам вписанных углов, откуда $P B∥DR.$ Аналогично, $DS ∥BQ.$ Следовательно, симметрия относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма $PQRS$ переводит треугольник $SDR$ в треугольник $QBP$ , в частности, $D$ отображается в $B$ . Тогда точка пересечения прямых $BR$ и $DQ$ переходит в точку пересечения симметричных им прямых $DP$ и $BS,$ т. е. $C$ переходит в $A.$ Таким образом, четырехугольник $ABCD$ симметричен относительно той же точки, и значит, является параллелограммом.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#89596Максимум баллов за задание: 7

Внутри параллелограмма $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $CD = CE.$ Докажите, что прямая $DE$ перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков $AE$ и $BC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Непонятно, как на картинке считать углы, а доказать нужно перпендикулярность. Может быть, будем доказывать какой-то эквивалентный факт?

Подсказка 2

Рассмотрим середину DE, треугольник ECD - равнобедренный, а, значит, отрезок CT перпендикулярен DE.

Подсказка 3

Обозначим за M и N середины AE и BC, итак доказываем параллельность СТ и MN. У нас три середины отрезков на картинке отмечено, надо этим воспользоваться.

Показать доказательство

Обозначим середины $AE, BC$ и $DE$ за $M,N$ и $T,$ необходимо доказать перпендикулярность $DE$ и $MN.$ $DE−$ основание равнобедренного треугольника $DEC,$ тогда его медиана $CT$ является также его высотой. Тогда нам достаточно доказать параллельность $MN$ и $T C.$

$MT$ — средняя линия треугольника $AED,$ то есть равна половине $AD$ и параллельна ему. В свою очередь $NC$ равен половине $BC = AD$ и параллелен $AD,$ а значит $MT$ и $NC$ параллельны и равны по длине, значит $MNCT$ — параллелограмм. А значит $MN$ и $TC$ параллельны.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#92019Максимум баллов за задание: 7

В параллелограмме $ABCD$ из вершины тупого угла $B$ проведены высоты $BM$ и $BN$ , а из вершины $D$ – высоты $DP$ и $DQ$ . Докажите, что точки $M,N,P$ и $Q$ являются вершинами прямоугольника.

Источники: Муницип - 2014, Москва, 8.3(см. vos.olimpiada.ru)

Показать доказательство

Пусть, для определённости, точка $N$ лежит на прямой $AD$ , а точка $Q$ – на прямой $AB$ . Тогда диагонали $BD$ и $PN$ прямоугольника $P BND$ равны и пересекаются в их общей середине $O$ . Аналогично, диагонали $BD$ и $QM$ прямоугольника $QBMD$ равны и пересекаются в их общей середине $O$ .

$PIC$

Значит, и диагонали $PN$ и $QM$ четырёхугольника $PQNM$ равны и пересекаются в их общей середине $O.$ Следовательно, $PQNM$ – прямоугольник.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#71204Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой угла, из которого она проведена, то этот параллелограмм — ромб.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы доказать, что параллелограмм является ромбом, достаточно доказать, что две его соседние стороны равны (почему?).

Подсказка 2

Значит, достаточно доказать, например, равнобедренность треугольника ABC. Для этого нужно учесть равенство углов DAC и CAB, а также некоторые свойства параллелограмма.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $AC$ биссектриса и диагональ в параллелограмме $ABCD$ . Тогда $∠BAC = ∠CAD$ . $∠BCA = ∠CAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных $BC$ и $AD$ и секущей $AC$ ). Тогда $∠BAC = ∠BCA$ , а значит треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$ . Значит, $AB = BC$ . А также по свойству параллелограмма $BC = AD$ как противоположные стороны. Значит, все стороны параллелограмма $ABCD$ равны, то есть он ромб.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#71206Максимум баллов за задание: 7

Середины сторон параллелограмма образуют прямоугольник. Докажите, что данный параллелограмм — ромб.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала стоит подумать, как можно доказать, что параллелограмм является ромбом. Какие бывают признаки?

Подсказка 2

Точно! Например, можно попробовать подойти к тому, что диагонали перпендикулярны. Посмотрим повнимательнее на картинку: F и G — середины BC и CD. Значит, FG — средняя линия в треугольнике CBD. А какие хорошие свойства есть у средних линий?

Подсказка 3

Верно! По свойству средних линий FG параллельна BD. А можно ли найти еще пару параллельных отрезков?

Подсказка 4

Конечно! Это отрезки EF и AC по аналогичным причинам. Нас интересует угол между BD и AC. При этом мы знаем, что они параллельны каким-то двум прямым параллелограмма. А что мы знаем об углах между парами параллельных прямых?

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $E$ , $F$ , $G$ , $H$ — середины сторон данного параллелограмма. Рассмотрим треугольник $BCD$ . В нем $FG$ — средняя линия, так как делит стороны треугольника пополам, значит, $FG∥ BD$ . Также $EF$ — средняя линия в треугольнике $ABC$ , значит, $EF ∥AC$ .

Так как $EF GH$ — прямоугольник, $∠EFG = 90∘$ . Из того, что $EF ∥AC$ , получается, что $FG$ перпендикулярна $EF$ , а значит, и $AC$ , но ведь еще и $BD ∥FG$ , значит, $BD$ перпендикулярна $AC$ . То есть в параллелограмме диагонали перпендикулярны, а значит, по признаку он ромб.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#71482Максимум баллов за задание: 7

На каждой диагонали параллелограмма построили по квадрату. Докажите, что расстояние между центрами квадратов равно одной из сторон параллелограмма.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы равенство отрезков доказывать было проще, можно рассмотреть какие-то треугольники, в которых эти отрезки состоят, и доказать из равенство.

Подсказка 2

Пусть центры квадратов — I и J, центр параллелограмма — K, а его вершины — A, B, C, D. Попробуйте доказать равенство треугольников IJK и CKD.

Подсказка 3

Что можно сказать про угол между прямыми IK и AC, JK и BD?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке $K$ , а $I$ , $J$ — центры квадратов. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Тогда заметим, что $IK$ перпендикулярна $AC$ . Почему? Потому что $IK$ — медиана в равнобедренном треугольнике $IAC$ (в нем $AI = IC$ как диагонали квадрата). По аналогичным причинам $JK$ перпендикулярна $BD$ . Что можно сказать про углы $BKI$ и $JKC$ ? $∠BKI = ∠BKJ − ∠JKI =90∘− ∠JKI =∠IKC − ∠JKI = ∠JKC$ . Рассмотрим треугольники $IKJ$ и $CKD$ . $IK = KC$ , как половины стороны квадрата $AEFC$ , $IK =KD$ , как половины стороны квадрата $BGHD$ , и $∠CKD = ∠IKJ$ , так как $∠CKD = ∠JKD − ∠CKJ = ∠BKJ − ∠BKI =∠IKJ$ . Получается, треугольники равны, значит, $IJ =CD$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#71483Максимум баллов за задание: 7

Вершины одного параллелограмма по одной лежат на сторонах другого. Докажите, что их центры совпадают.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим вершины большего параллелограмма через A, B, C, D, а меньшего — через H, E, F, G (H на AD, E на AB и так). Для доказательства достаточно показать, что FH делит AC пополам, а потом сказать то же самое про EG.

Подсказка 2

Чтобы доказать, что FH делит AC пополам, попробуйте найти какие-то равные треугольники, в которых эти отрезки как-то участвуют.

Подсказка 3

Как насчёт треугольников FIC и AIH?

Показать ответ и решение

$PIC$

$EFGH$ — параллелограмм по условию, значит, $FC = AH$ . $∠EHA = ∠GFC$ , так как $EH ∥F G$ и $AH ∥FC$ . Аналогично $∠HEA =∠F GC$ . Тогда по второму признаку треугольники $GCF$ и $EAH$ равны. Значит, $AH = CF$ как соответственные. Получается, что в четырехугольнике $AF CH$ противоположные стороны равны и параллельны, а значит, он параллелограмм, и точка пересечения его диагоналей — середина $AC$ , то есть совпадает с центром большого параллелограмма.

Ответ: