Трапеция
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции 
угол 
в два раза меньше угла 
. Известно, что 
. Найдите площадь
трапеции.
Подсказка 1!
1) Попробуем посмотреть на условие о том, что NP = PM = 13/2 немного под другим углом. Это означает, что от N и M до P одинаковое расстояние. А нам как-то не хватает отрезков, которые мы можем посчитать на картинке. Было бы здорово найти еще какой-то равный им отрезок. Что для этого можно сделать?
Подсказка 2!
2) Давайте построим окружность с центром P и радиусом 13/2. Тогда попробуем доказать, что точка Q тоже на ней лежит! Как это можно сделать?
Подсказка 3!
3) Верно, пусть нет, отметим тогда точку пересечения окружности и MQ, как бы доказать теперь, что эта точка обязательно совпадает с Q?
Подсказка 4!
4) Да, тут-то там и пригодится условие про углы! А дальше осталось аккуратно досчитать площадь, теперь-то у нас побольше известных отзеков)
Первое решение.
Проведём биссектрису и высоту в равнобедренном 
до пересечения с 
в точке 
. Тогда 
— ромб со стороной 
и
углами 
, где 
. Тогда 
и из 
по теореме синусов
Отсюда площадь ромба можно найти по формуле
А площадь трапеции легко выразить через площадь ромба через отношение полусуммы оснований трапеции к стороне ромба, ведь у них общая высота
Второе решение.
Точки 
и 
лежат на окружности радиуса 
с центром в вершине 
. Пусть прямая 
вторично пересекает эту
окружность в точке 
. Тогда вписанный угол 
равен половине соответствующего центрального угла MPN, т.
е.
значит, точка 
совпадает с точкой 
, а 
. Пусть 
- высота равнобедренного треугольника 
. Тогда 
середина основания 
. По теореме Пифагора
Следовательно,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
