Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме

Первое решение. Пусть — точка пересечения прямых и Тогда утверждение задачи равносильно следующему равенству:

Пусть и Тогда из подобия треугольников и следует

откуда

Далее, из подобия треугольников и следует

Утверждение задачи следует из равенства

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Ясно, что

где — расстояние от точки до прямой Аналогично

где — расстояние от точки до прямой Поэтому из равенства следует, что

Обозначим

Так как , то Из прямоугольных и находим

Так как и — радиус окружности

Так как , то получаем , т. е.

Так как угол острый как угол прямоугольного

Из равнобедренных и находим Отсюда

Тогда площадь равна

И искомое отношение равно

Пусть рисунок расплылся на радиус . К площади полумесяца прибавятся «поля», которые можно разбить на левое, правое и два закругления на концах рогов.

Площадь полумесяца равна половине площади круга радиуса минус сегмент круга радиуса

Площадь левого поля ”— половина от площади кольца с радиусами и :

Площадь правого поля ”— четверть от площади кольца с радиусами и :

Закругления на концах рогов вместе составляют три четверти окружности радиуса :

Вместе получается:

И тогда ответ:

В точке пересекаются три высоты треугольника. Так как — центр описанной окружности, то в точке пересекаются серединные перпендикуляры треугольника. Пусть точка — середина стороны , тогда медиана. Точка — точка пересечения медианы и прямой .

Треугольники и подобны (следует из параллельности прямых и , которые обе перпендикулярны прямой ). Так как (этот факт из школьной геометрии хорошо известен как "свойство ортоцентра"), то коэффициент подобия равен 2. Значит, , то есть медиана делится точкой в отношении . Это означает, что - точка пересечения медиан треугольника . Поэтому площадь в 2 раза больше площади .

Так как — середина , то

Здесь ошибкой был бы вывод о том, что, значит, . Дело в том, что выше доказано, что одна из этих трех площадей является суммой двух других. Но какая именно, зависит от рисунка, который мы сделаем. Важно, где прямая пересекает стороны треугольника. Если треугольник правильный, то точки и совпадают и указанные в условии задачи три площади вырождаются (это здесь невозможно, так как дано, что площади равны 3 и 5). Если прямая проходит через любую вершину треугольника, то тогда одна из трех площадей равна 0 , а две другие — ненулевые, но равны между собой (тоже не наш случай). Если же прямая пересекает две стороны (рассмотренный выше случай), то мы доказали, что одна из этих трех площадей (в одном случае это , в другом — в третьем — является суммой двух других.

Поэтому получаем либо (то есть ), либо (то есть ), либо (что невозможно).

Внутри лежат 2 прямоугольника Значит, их общая площадь равна в то время как площадь большого прямоугольника равна Обозначим — площадь всего прямоугольника, — площадь серой части (покрыта маленькими прямоугольниками 0 раз), — площадь белой части (покрыта 1 раз) и — площадь чёрной части (покрыта 2 раза). Тогда:

Заметим, что сумма площадей маленьких прямоугольников равна

Вычтем из :

Значит, сумма площадей серых многоугольников равна площади чёрного многоугольника.

Для начала обозначим вершины прямоугольника — , начиная с левой нижней вершины по часовой стрелке. Нам нужно понять, что можно считать линолеумом, чтобы чёрные или серые части были покрыты дважды. Возьмём треугольника и Докажем, что сумма площадей данных треугольников равна

Значит, Аналогично,

Получается,

Тогда будем использовать треугольники и как ”линолеум”. Чёрный многоугольник будет покрыт дважды (обозначим его площадь ), белые — по одному разу, а серые (обозначим их сумму площадей ) — ни разу. Тогда по теореме о линолеуме (площадь частей, покрытых дважды, равна площади частей, покрытых раз).

Рассмотрим треугольники и

Аналогично

Значит,

Тогда будем использовать треугольники и как ”линолеум”. Чёрные части будут покрыты дважды (обозначим сумму их площадей ), белые — по одному разу, а серые (обозначим их сумму площадей ) — ни разу. Тогда по теореме о линолеуме (площадь частей, покрытых дважды, равна площади частей, покрытых раз).

Пусть дана трапеция — отрезок, соединяющий середины оснований и — точка пересечения диагоналей и

Тогда, так как треугольники и подобны. и — соответствующие элементы в подобных треугольниках (медианы). Значит, Следовательно, точки и лежат на одной прямой.

Проведём где точка лежит на продолжении стороны Тогда, так как и — параллелограмм.

Так как диагональ в параллелограмме делит его на равных треугольника,

Заметим, что так как они имеют общее основание а вершины и лежат на прямой, параллельной основанию (что означает, что их высоты из точки будут равны). Получаем:

Значит,

Таким образом, нам нужно найти площадь у которого известны стороны: по условию, так как — параллелограмм.

Проведём лежит на Тогда, так как и — параллелограмм. Значит,

Таким образом, значит, — медиана Получается, в нам также известна медиана:

Сделаем выносной чертёж

Продлим медиану на свою длину — точка Тогда, четырёхугольник — параллелограмм (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит,

Заметим, что так как Значит, нам нужно найти площадь Так как его стороны равны то по обратной теореме Пифагора этот треугольник прямоугольный. Значит, его площадь равна

Тогда,

В треугольниках и высоты, опущенные из точки , совпадают. По условию задачи

Поэтому

Следовательно,

Для начала отметим точку пересечения диагоналей — точка

Из условия, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что и — параллелограммы. Значит, и Докажем, что:

Проведём отрезок где лежит на Тогда, так как , Так как — параллелограмм,

Значит, и

Заметим, что

Аналогично преобразуем площади треугольников и

Заметим, что так как и из Далее аналогично преобразуем площади треугольников и

Таким образом, мы получаем, что:

Тогда можем применить теорему о линолеуме: так как сумма площадей треугольников равна площади всего многоугольника, чёрные части покрыты ими раза, а серые — раз, сумма площадей чёрных треугольников равна площади серого шестиугольника.

(a) Домножим обе части равенства, которое требуется доказать на ненулевую Осталось пояснить, почему

равно — площадь треугольника — площадь треугольника — площадь треугольника В самом деле,

(b) Вычтем из равенства 3=3 равенство из предыдущего пункта. Получим то, что и требуется.

Обозначим за и середины отрезков и Тогда площади треугольников и равны (общая высота из и равные стороны к которой она проведена), то же с парами треугольников и и и Так

Заметим, что в силу того, что лежит на биссектрисе высоты из треугольников и равны, тогда из формулы площади следует, что должны быть равны и стороны, к которым они проведены, то есть отрезки и

Рассмотрим отношение площадей треугольников и С одной стороны, это а с другой — (как отношение площадей с общим углом). Обозначим

Тогда Аналогично,

Пусть Тогда из и

и из то есть Тогда противоречие. Значит, ЧТД.

Суммарная площадь четырёх кругов радиуса равна так что равна площади содержащего их большого круга радиуса Поэтому по теореме о линолеуме внутри круга радиуса площадь области точек, покрытых два раза кругами радиуса равна площади области точек, не покрытых ни разу.

Пусть пересекает в точке

За счёт имеем с коэффициентом так что

Из теоремы об отношении площадей треугольников с общей высотой

Тогда по тому же факту И, наконец,

Обозначим точку пересечения диагоналей за Сумма площадей и равна половине площади прямоугольника (полупроизведение стороны на высоту прямоугольника к стороне так же как и площадь треугольника (полупроизведение основания на высоту прямоугольника к При этом в покрытии прямоугольника этими тремя "ковриками " никакая точка не покрыта трижды.

Тогда по теореме о линолеуме площадь области прямоугольника, покрытой дважды (чёрной части), равна площади области, не покрытой ни разу (серой части).

По теореме об отношении площадей с общей высотой

Отсюда получаем, обозначив

Так что

Рассмотрим картинку, соответствующую условию задачи с точностью до переобозначений:

Заметим, что треугольники с их внутренними точками образуют такое покрытие внутренности исходного треугольника, что каждая его точка принадлежит не более, чем двум из трёх кусков покрытия. Тогда по лемме о линолеуме площадь непокрытой части – – равна сумме площадей покрытых дважды областей – – тогда и только тогда, когда общая площадь покрытия – – равна площади всего треугольника которую мы обозначим неизвестной

Первое решение.

Рассмотрим треугольник двигая точку вдоль “оранжевой” прямой площадь треугольника остаётся постоянной по теореме о перетягивании площади по рельсам Евклида (пользуемся тем, что оранжевая” прямая параллельна основанию треугольника). Тогда передвинем точку в точку Аналогично поступим с точками и В итоге

Итак, сумма площадей “синих” треугольников, образованных на пересечениях треугольников и равна площади не замощённого участка треугольника (зелёного треугольника) по теореме о паркете.

Второе решение.

По теореме об отношении площадей треугольников с общей высотой Ясно, что эта сумма равна тогда и только тогда, когда

Здесь уже настало время пользоваться природой появления точек от точки Обозначим точки пересечения чевиан, пересекающихся в точке со сторонами треугольника за

Тогда по теореме Фалеса искомое соотношение эквивалентно

Это соотношение для конкурентных чевиан известно как теорема Жергонна. Доказать её можно так: площади треугольников и относятся как высоты из вершин и соответственно, потому что сторона общая, а высоты из этих вершин относятся так же, как и к по обобщённой теореме Фалеса. Проделав аналогичные рассуждения с точностью до переобозначений,

Первое решение.

Пусть луч пересекает отрезок в точке Воспользуемся теоремой об отношении площадей треугольников с общей высотой:

Тогда так как и то мы получим следующее соотношение:

Значит, тогда точка пересечения медиан треугольника Отсюда следует, что середина отрезка Получим, что как половины равных по условию площадей (так как медианы).

Второе решение.

Так как медиана делит площадь треугольника пополам, то для треугольника , в котором проведена медиана получим, что Теперь применим теорему об отношении площадей треугольников с общей высотой:

Теперь применим теорему Менелая для треугольника и секущей :

Получим, что середина Тогда как половины равных по условию площадей (так как медианы).

Соединим точку с точками и Так как то а по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому Следовательно, и — соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках и (По двум углам: — общий и Значит,

По обобщённой теореме Фалеса

Из полученных равенств следует, что

Значит, — середина а так как то — средняя линия Отсюда

А значит,