Трапеция

Пусть дана трапеция — отрезок, соединяющий середины оснований и — точка пересечения диагоналей и

Тогда, так как треугольники и подобны. и — соответствующие элементы в подобных треугольниках (медианы). Значит, Следовательно, точки и лежат на одной прямой.

Проведём где точка лежит на продолжении стороны Тогда, так как и — параллелограмм.

Так как диагональ в параллелограмме делит его на равных треугольника,

Заметим, что так как они имеют общее основание а вершины и лежат на прямой, параллельной основанию (что означает, что их высоты из точки будут равны). Получаем:

Значит,

Таким образом, нам нужно найти площадь у которого известны стороны: по условию, так как — параллелограмм.

Проведём лежит на Тогда, так как и — параллелограмм. Значит,

Таким образом, значит, — медиана Получается, в нам также известна медиана:

Сделаем выносной чертёж

Продлим медиану на свою длину — точка Тогда, четырёхугольник — параллелограмм (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит,

Заметим, что так как Значит, нам нужно найти площадь Так как его стороны равны то по обратной теореме Пифагора этот треугольник прямоугольный. Значит, его площадь равна

Тогда,