Тема Четырёхугольники

Трапеция

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#31334Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = a$ и $BC = b$ проведены диагонали $AC$ и $BD$ . Их середины обозначим через $K$ и $M$ соответственно. Чему равен отрезок $KM$ ? Ответ выразите через $a$ и $b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу будем считать, что a>=b. Мы знаем что K и M это середины диагоналей. Какая хорошая прямая в трапеции может проходить через эти точки?)

Подсказка 2

Да, средняя линия трапеции! Пусть её точка на отрезке AB это X, а на отрезке CD это Y. Как можно выразить XK и MY?

Подсказка 3

Стоит воспользоваться тем, что XK например параллельна BC и найти подобие)

Подсказка 4

Да, XK = b/2! аналогично можно найти MY, вспомнить чему равно XY и найти KM)

Показать ответ и решение

Пусть $a ≥b$ . Проведём среднюю линию трапеции $XY$ , как на чертеже:

$PIC$

Она проходит через точки $K$ и $M.$ Тогда $XY$ параллельна $BC$ и $X$ — середина $AB,$ откуда $XK$ — средняя линия треугольника $ABC.$ Аналогично $XM$ — средняя линия $ABD.$ Таким образом,

XM = a 2

XK = b 2

Отсюда

a-− b KM = XM − XK = 2

В случае $b> a$ всё аналогично, а чтобы объединить случаи, можно просто поставить модуль:

|a-− b| KM = 2

Ответ:

$|a−-b| 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#31355Максимум баллов за задание: 7

Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что угол $ABD$ — прямой и $BC +CD =AD$ . Найдите отношение оснований $AD :BC$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Получается, что сумма двух отрезков равна третьему. Что тогда естественно сделать, чтобы воспользоваться этим условием?

Подсказка 2

Верно, можно попробовать расположить их на одной прямой. Тогда какая фигура после этого получится?

Подсказка 3

Ага, это параллелограмм. Каким же условием мы ещё не воспользовались в задаче? Видим, что накрест лежащие углы у нашего параллелограмма прямые и из построения образовался равнобедренный треугольник. Теперь осталось аккуратно досчитать углы.

Показать ответ и решение

Первое решение. Идея — спрямление суммы отрезков в один отрезок с той же длиной.

$PIC$

На прямой $BC$ за точку $C$ отметим такую точку $X$ , что $CD = CX$ , тогда $BX =AD$ , а значит $ABXD$ — параллелограмм. $∠ABD =∠BDX = 90∘$ . Треугольник $CXD$ — равнобедренный, откуда $∠CXD = ∠CDX$ . Также из прямоугольного $ΔBDX$ имеем $∠CDB =90∘− ∠CDX = 90∘− ∠CXD = 90∘− ∠BXD$ , $∠DBX = 90∘− ∠BXD$ . То есть $ΔBCD$ — равнобедренный, значит $BC = CD$ , из чего следует $AD = BX = 2BC$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Идея — разбить трапецию на параллелограмм и треугольник (одно из стандартных построений для убийства трапеции).

$PIC$

Отметим на $AD$ такую точку $R$ , что $AR = BC$ , тогда $ABCR$ — параллелограмм и $CD =DR$ . По условию $AB ⊥ BD$ . $AB ∥CR$ , а значит, $CR ⊥ BD$ , откуда $BD$ — серединный перпендикуляр к $CR$ (потому что $ΔCRD$ — р/б). Из этого следует, что $ΔBCR$ - равнобедренный, $BC = BR = AR$ . $∠BAR =∠ABR$ , $∠RBD =90∘− ∠ABR$ , $∠BDR = 90∘ − ∠BAR$ , значит, $ΔBRD$ — равнобедренный, то есть $RD = BR =AR = BC$ . Таким образом, $AD = 2BC$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#31460Максимум баллов за задание: 7

Углы при одном из оснований трапеции равны $50∘$ и $80∘$ , а основания равны $2$ и $3$ . Найдите боковую сторону при угле $∘ 80$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, какие у нас бывают дополнительные построения в трапеции. Например, провести сторону параллельно боковой стороне через точку В. Что тогда хорошего можно заметить?

Подсказка 2

Верно, получившаяся фигура - параллелограмм. Тогда параллельные стороны будут равны. Какой ещё факт, связанный с углами, можно заметить из картинки?

Подсказка 3

Ага, равны два угла по 80 градусов. Тогда можно найти третий угол у образовавшегося треугольника. Какой же это будет треугольник?

Показать ответ и решение

Проведём через точку $B$ прямую $BX$ , параллельную $CD$ .

$PIC$

Получили параллелограмм $XBCD$ , а значит,

CD = BX, BC =XD = 2,AX = 3− 2 =1,∠CDA = ∠BXA = 80∘

Заметим, что $∠ABX = 50∘$ , то есть $ΔABX$ — равнобедренный, откуда

AX = BX = CD =1

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#31461Максимум баллов за задание: 7

Биссектриса одного угла трапеции делит её боковую сторону пополам. Найдите другую боковую сторону трапеции, если основания трапеции равны $a$ и $b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть биссектриса одного из углов трапеции, и к тому же она является медианой. Какое тогда естественное дополнительное построение можно выполнить?

Подсказка 2

Верно, можно её продлить до пересечения с параллельной стороной. Тогда у нас образуется новый большой треугольник. Попробуем посчитать углы и выяснить что-то о нём.

Подсказка 3

Ага, он равнобедренный. Тогда для решения задачи осталось найти получившееся основание, часть из которого нам известна. Мы ещё не пользовались равенством отрезков. Воспользовавшись ими и равенством углов, попробуйте найти неизвестную часть.

Показать ответ и решение

Продлим биссектрису до пересечения с $BC$ в точке $K$ .

$PIC$

∠AMD = ∠CMK, ∠CKM = ∠DAM

в силу вертикальности и параллельности соответственно, значит $ΔCMK$ и $ΔAMD$ подобны, притом с коэффициентом 1, откуда $AD = CK = b$ . Осталось заметить, что $ΔABK$ — равнобедренный, то есть

AB = BK = a+b

Ответ:

$a+ b$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#31463Максимум баллов за задание: 7

Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна $1$ , а большая образует угол $30∘$ с одним из оснований. Найдите длину этого основания, если на нём лежит точка пересечения биссектрис углов при другом основании.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Искать основание целиком выглядит явно плохой идеей, поэтому попробуем найти его по частям. Используя параллельность, поймём какие у нас образуются "хорошие" треугольники при пересечении биссектрис на стороне?

Подсказка 2

Верно, получается два равнобедренных треугольника. Одну из частей мы сразу находим, а для второй нам достаточно найти вторую боковую сторону. Тогда какое дополнительное построение уместно использовать в данном случае?

Подсказка 3

Ага, хорошо будет провести ещё одну высоту, тем более мы знаем её длину. Мы ещё не пользовались углом в 30 градусов! Попробуйте применить это для получившегося прямоугольного треугольника.

Показать ответ и решение

Пусть $X$ — точка пересечения биссектрис.

$PIC$

Заметим, что $ΔABX$ — равнобедренный, откуда $AB = AX =1$ . Далее немного посчитаем углы:

∠BCD = 180∘− ∠ADC = 150∘,∠BCX = ∠DCX = 75∘,

∘ ∘ ∠BXC = 180 − ∠CBX − ∠BCX =60 ,

∠CXD = 180∘− ∠BXA − ∠BXC = 75∘

Проведём высоту $CY$ , она равна $1$ , а значит,

CD = -CY---= 2 sin(30∘)

$CD =DX =2$ в силу равнобедренности $ΔCDX$ , откуда

AD = AX +XD =3

Ответ:

$3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#31464Максимум баллов за задание: 7

Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого. Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нужно доказать перпендикулярность двух отрезков, то имеет смысл подумать о доказательстве через прямоугольный треугольник. Тогда попробуем сделать дополнительное построение, которое поможет нам воспользоваться признаком прямоугольного треугольника.

Подсказка 2

Верно, проведем медиану к большему основанию. Тогда она должна быть вдвое меньше основания. Попробуем понять, какой четырёхугольник у нас получился, используя параллельность оснований трапеции.

Подсказка 3

Ага, получился ромб. Тогда осталось воспользоваться только равенством отрезков.

Показать доказательство

Пусть $T$ — середина $AD$ , тогда нетрудно понять, что $ABCT$ — ромб, значит, $AB = CT$ . Также по условию $AD = 2AB$ , откуда $CT = TD$ .

$PIC$

Таким образом, $ΔACD$ — прямоугольный, так как его медиана равна половине стороны, к которой она проведена.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#40724Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A.$ Биссектриса угла $B$ пересекает большее основание $AD$ в точке $E.$ Найдите высоту трапеции, если $√- √ - AC = 8 5,BE =4 5.$

Показать ответ и решение

По условию $∠BAC = ∠CAE$ , а из параллельности $∠CAE = ∠BCA$ . Значит, треугольник $ABC$ равнобедренный. Поэтому $BE$ — биссектриса, высота и медиана в треугольнике $BAC$ . Отсюда $BE$ — серединный перпендикуляр к $AC$ и поэтому $AEC$ тоже равнобедренный. Тогда $∠CAE =∠ACE$ , а треугольники $ABC$ и $AEC$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $AB = BC = CE =EC$ , так что $ABCE$ ромб. Тогда его диагонали пересекаются в серединах и перпендикулярны, поэтому $√ - AF = 4 5$ , $√- FE = 2 5$ и $AE = 10$ . Площадь всего ромба равна $AC⋅BE- 2 = 80$ , а площадь треугольника $ACE$ равна половине площади ромба, то есть $40.$ $CH⋅AE- SACE = 2 = 40$ , поэтому $CH = 8$ .

Ответ:

$8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#41770Максимум баллов за задание: 7

Окружность касается сторон $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ и пересекает сторону $DC$ в единственной точке $F$ и сторону $BC$ в единственной точке $E$ . Найдите площадь трапеции $AFCB$ , если $AB =32,AD = 40$ и $BE = 1$ .

Показать ответ и решение

Пусть окружность с центром $O$ и радиусом $R$ касается $AB,AD$ в точках $M, N$ соответственно. Пусть также $K$ — проекция $E$ на $MO$ , и $L$ — проекция $F$ на $NO$ . Отсюда $MB = KE = 32− R$ , а также $OK =OM − MK = OM − BE = R− 1$ .

$PIC$

Напишем теорему Пифагора для $△OKE$

R2 =(R− 1)2+(32− R)2 ⇐ ⇒ R2 − 66R +1025= 0 =⇒ R ∈{25,41}

Поскольку $R <32$ , то $R = 25$ . Пусть $DF = NL = x$ , аналогично имеем $DN = 40− R = 15,LO = 25 − x$ , откуда

2 2 2 15 + (25− x) = 25 =⇒ x= 5

Отсюда $S =S − S =32⋅40− 40⋅5= 1180 ABCF ABCD AFD 2$ .

Ответ:

$1180$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#70274Максимум баллов за задание: 7

Диагонали $AC$ и $BD$ равнобокой трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$ . Известно, что $AD$ : $BC = 3:2$ . Окружность $ω$ с центром $O$ , проходящая через вершины $A$ и $D$ , пересекает продолжение основания $BC$ за точку $B$ в точке $K$ . Оказалось, что $BK = BO$ . Найдите отношение основания $AD$ к радиусу окружности $ω$ .

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем выразить каким-либо образом основание через радиус, чтобы в результате отношения радиусы сократились. Давайте проведем высоту из точки O на основание AD, тогда из прямоугольного треугольника мы можем найти, что AD = 2*AO*cos∠DAO. Таким образом, отношение AD к радиусу окружности будет равно 2cos∠DAO. Подумайте, откуда мы можем найти косинус данного угла?

Подсказка 2

Давайте обратим свое внимание на треугольник KBO, всё таки про него нам довольно много известно из условия. Он равнобедренный, а его сторона OK равна OA и OD. По условию нам дано отношение оснований нашей равнобокий трапеции. Подумайте, как, используя данное отношение, мы можем выразить KB и BO через сторону OK.

Подсказка 3

Если воспользоваться тем, что OK=OA=OD и тем, что △AOD подобен △BOC, можем найти, что BO=KB=2*OK/3. По сути, нам известны три стороны одного треугольника, выраженные через одну и ту же переменную, просто с разными коэффициентами. В таких случаях очень удобно использовать теорему косинусов. Давайте воспользуемся ей для угла KBO, так как ∠KBO = 180 - ∠OBC = 180 - ∠DAO. Таким образом, мы легко находим 2cos∠DAO.

Показать ответ и решение

Обозначим радиус окружности за $3x$ , $AO =DO =KO = 3x$ . Из $△AOD ∼ △BOC$ получаем $CO = 2x= BO = BK$ (с учётом условия задачи).

$PIC$

По теореме косинусов для $△KBO$

9x2 = 4x2 +4x2− 2⋅4x2cos∠KBO =⇒ cos∠KBO =− 1 8

cos∠KBO = − cos(180∘ − ∠KBO )= − cos∠CBO = − cos∠OAD

cos∠OAD = 1 8

Если провести высоту треугольника $AOD$ , то легко понять, что $AD-= AO cos∠DAO 2$ , отсюда

AD- AD- 2AO-cos∠DAO- 1 R = AO = AO = 4

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#71480Максимум баллов за задание: 7

Каждая диагональ трапеции равна сумме ее оснований. Найдите угол между ее диагоналями.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сделаем такое дополнительное построение, чтобы "переместить" диагональ в другое место.

Подсказка 2

Дополнительное построение: проведите BE параллельно AC! Какая фигура у нас образуется?

Подсказка 3

Отлично, образуется паралеллограмм! Давайте отметим равные стороны. CE = AB, BE = AC. А теперь обратимся к условию ;)

Подсказка 4

По сути отрезок DE и есть сумма оснований! Что тогда можно сказать про треугольник DEB?

Подсказка 5

Треугольник BED правильный! Значит, мы можем посчитать его углы) Осталось лишь понять, как же связать полученные углы с тем, что нам нужно!

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $AB = a,CD = b,$ тогда из условия получаем, что $BD = a+b.$ Сделаем дополнительное построение — проведем $BE$ параллельно $AC.$ В силу параллельности противоположных сторон, полученный четырехугольник $ABEC$ — параллелограмм. Значит, $BD = AC = BE =a +b,$ то есть в треугольнике $BDE$ все стороны равны, получается, он правильный и все его углы равны $60∘.$ Нам нужно было найти угол между $AC$ и $BD,$ а он равен углу между $BE$ и $BD.$ То есть искомый угол равен $60∘.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#86305Максимум баллов за задание: 7

Углы при одном основании трапеции равны $50∘$ и $80∘.$ Докажите, что одна из ее боковых сторон равна разности оснований.

Показать доказательство

Проведём отрезок $BF,$ параллельный $CD.$ Нетрудно понять, что $BCDF$ — параллелограмм, откуда $BC = FD,CD = BF,∠CDA = ∠BF A =80∘.$ Заметим, что отрезок $AF$ равен разности оснований и что $ΔABF$ — равнобедренный, откуда $AF = BF = CD,$ что и требовалось.

$PIC$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#86307Максимум баллов за задание: 7

К боковой стороне $AB$ равнобокой трапеции $ABCD$ провели серединный перпендикуляр. Он пересёк отрезок $BC$ в точке $E.$ Найдите угол $ABC,$ если известно, что прямые $AE$ и $CD$ перпендикулярны.

Показать ответ и решение

Продлим $EA$ до пересечения с $CD$ в $X$ и положим $∠ABC = α.$ Тогда $∠BAE = α$ и $∠DCB = α.$ По условию $∠EXC = 90∘,$ откуда $∘ ∠XEC =90 − α.$ Заметим, что последний угол является внешним к $ΔBAE,$ но с другой стороны этот же внешний $∠XEC =2α,$ тогда имеем уравнение $∘ 2α =90 − α,$ то есть $∘ α= 30.$

$PIC$

Ответ:

$30∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#86308Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что середины диагоналей и оснований трапеции образуют прямоугольник, если углы при одном из оснований трапеции в сумме дают прямой угол.

Показать доказательство

Введём обозначения как показано на рисунке. Заметим, что $XZ$ — средняя линия в $ΔABC,$ откуда $XZ ∥AB.$ Также $Y T ∥ AB,$ то есть $XZ ∥ YT.$ Аналогично $XT ∥ ZY.$ Таким образом, $XT ZY$ — параллелограмм. Из вышесказанного понятно, что угол между $XT$ и $YT$ совпадает с углом между $AB$ и $CD,$ а значит он будет прямым тогда и только тогда, когда $AB ⊥ CD.$ А это равносильно тому, что $∘ ∠BAD +∠CDA =90 ,$ что и требовалось.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#86309Максимум баллов за задание: 7

Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ ( $AD ∥ BC$ ) взаимно перпендикулярны, длина средней линии трапеции равна $m.$ На большем основании $AD$ взята точка $M$ так, что $AM = m.$ Найдите длину отрезка $MC.$

Показать ответ и решение

Пусть $BC = 2a,AD = 2b,$ тогда $m = a+ b.$ Таким образом, $MD =AD − AM = 2b− a − b= b− a.$ Соединим середины оснований и получим отрезок $NK.$ По свойству трапеции этот отрезок проходит через точку пересечения диагоналей. Тогда $KM = AM − AK =a +b− b= a.$ Следовательно, $KNCM$ — параллелограмм (две стороны $KM$ и $NC$ равны $a$ и параллельны). Таким образом, $NK =CM.$ Значит, найдем $NK.$

$PIC$

$ON$ и $OK$ — медианы в прямоугольных треугольниках $BOC$ и $AOD$ соответственно, проведенные к гипотенузе. Следовательно, каждая из них равна половине гипотенузы, то есть $ON = a,OK =b,$ значит $NK = a+ b= m.$ Следовательно, и $CM =m.$

Ответ:

$CM =m$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#92008Максимум баллов за задание: 7

Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

Показать ответ и решение

Так как наша трапеция описанная, сумма ее оснований равна сумме боковых сторон, то есть равна 8. Пусть большее основание трапеции равно $x$ , а меньшее — $y$ .

$PIC$

Заметим, что площади двух образовавшихся трапеций относятся как их средние линии, откуда $x+3x3+yy-= 511-$ , и $x+ y = 8$ из ранее доказанного. Решая полученную систему уравнений, получаем $x= 7$ , $y = 1$ .

Ответ: 1 и 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#92051Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ относятся как $1:2.$ Пусть $K$ – середина диагонали $AC.$ Прямая $DK$ пересекает сторону $AB$ в точке $L.$

а) Докажите, что $AL = 2BL.$

б) Найдите площадь четырёхугольника $BCKL$ , если известно, что площадь трапеции $ABCD$ равна $9.$

Показать ответ и решение

а) Заметим, что треугольники $TKC$ и $AKD$ равны по трем углам (из параллельности $TC$ и $AD$ ) и по одной стороне ( $AK = KC$ ). Значит, $AD = TC$ и $1 TB =2AD$ . Тогда по теореме Фаллеса $AL- AD- LB = TB = 2$ .

$PIC$

б) Заметим, что $SABCD = h⋅(AD2+BC)$ , где $h$ — высота трапеции. Значит,

h⋅(AD-+BC-)= h⋅3BC-= 9= 3SABC 2 2

Отсюда $SABC =3$ .

Заметим, что

S = AB-⋅AC-⋅sin-BAC- ABC 2

AL-⋅AK-⋅sin-LAK- SALK = 2

Значит,

SABC- AB-⋅AC-- AB- AC- SAKL = AK ⋅AL = AL ⋅AK = 3

Отсюда $SAKL =1$ и $SBLKC = 2$ .

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#79700Максимум баллов за задание: 7

Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем $∘ 60 .$

Источники: ММО-2021, 10.2(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое дополнительное построение помогает нам работать с углами, когда нет почти никаких длин? Не просто же так нам дано то, что трапеция равнобокая!

Подсказка 2

Опишем окружности вокруг нашей трапеции. Искомый угол — угол между хордами. Вспоминаем, как ищется угол между хордами и становится понятно, о каких дугах мы хотим узнать прежде всего!

Подсказка 3

Осталось красиво сравнить боковые стороны с радиусом окружности и про углы всё станет понятно :)

Показать доказательство

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность.

$PIC$

Ее боковая сторона вдвое меньше основания и, значит, не длиннее радиуса окружности. Поэтому боковые стороны стягивают дуги не больше чем $∘ 60 .$ А угол между диагоналями равен полусумме этих дуг.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#97698Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ $(AD ∥BC )$ биссектрисы углов $∠DAB$ и $∠ABC$ пересеклись на стороне $CD.$ Найдите $AB$ , если $AD =5,$ $BC = 2.$

Показать ответ и решение

Пусть биссектрисы углов $∠BAD$ и $∠ABC$ пересекаются в точке $L,$ лежащей на $CD.$

$PIC$

Так как $AD ∥BC,$ то $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180,$ а, раз $AL$ и $BL$ биссектрисы, $∘ ∠BAL +∠ABL = 90 .$ Следовательно, в треугольнике $ABL$ получаем

∠ALB = 180∘− (∠BAL +∠ABL )= 90∘

Проведём медиану $LM$ в треугольнике $ABL,$ раз треугольник прямоугольный, то $LM =BM = MA.$ Треугольник $AML$ равнобедренный, значит, $∠LAD = ∠BAL = ∠MLA,$ а, следовательно, $ML ∥AD.$ Но $M$ — середина $AB,$ значит, $ML$ — средняя линия трапеции $ABCD,$ поэтому

AD + BC AB = 2ML = 2⋅---2----= AD+ BC = 7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#97836Максимум баллов за задание: 7

На боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD$ ( $AD ∥BC$ ) отмечена точка $M.$ Из вершины $A$ опущен перпендикуляр $AH$ на отрезок $BM.$ Оказалось, что $AD = HD.$ Найдите длину отрезка $AD,$ если известно, что $BC =16,$ $CM =8,$ $MD =9.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть прямые BM и AD пересекаются в точке K. Поскольку BC параллельно AD, треугольники BCM и KDM подобны по углам. Попробуйте теперь посчитать отрезок DK.

Подсказка 2

Отрезок DK равен 18. Теперь пусть S — середина отрезка AH. Что можно сказать про прямую DS для треугольника HAK?

Подсказка 3

Правильно! Это средняя линия этого треугольника, поэтому D — середина отрезка AK. Теперь можно найти, чему равен отрезок AD.

Показать ответ и решение

Пусть прямые $BM$ и $AD$ пересекаются в точке $K.$ Поскольку $BC ∥AD,$ треугольники $BCM$ и $KDM$ подобны по углам, откуда получаем $DM- 9 DK = BC ⋅CM = 16⋅8 = 18.$ В равнобедренном треугольнике $ADH$ проведем высоту и медиану $DS.$

$PIC$

Тогда в треугольнике $AHK$ отрезок $DS$ проходит через середину стороны $AH$ и параллелен $HK.$ Следовательно, $DS$ — средняя линия этого треугольника, и $AD = DK = 18.$

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#63661Максимум баллов за задание: 7

Произведение оснований трапеции равно 18. Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё вписана окружность, а диагонали делят среднюю линию на три равные части.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 205, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите одну из диагоналей трапеции и среднюю линию. Будем работать с треугольником образованным диагональю трапеции, боковой стороной имеющей с этой диагональю общую вершину и одним из оснований: чем является часть средней линии трапеции заключенная внутри этого треугольника?

Подсказка 2

Мы знаем, что средняя линия треугольника составляет известную часть от средней линии трапеции (а значит, нам известно, в каком отношении делятся средние линии треугольников, на которые рассматриваемая нами диагональ делит трапецию), и она же равна половине основания. Длина средней линии трапеции также выражается через длины оснований — запишите соответствующее уравнение и сделайте вывод об отношении оснований трапеции! Теперь, зная ещё их произведение, Вы можете найти длины оснований трапеции.

Подсказка 3

Длины оснований мы знаем, но не хватает боковых сторон... Но не зря же нам сказано о существовании вписанной в эту трапецию окружности. Вспомните, какой факт нужно использовать, чтобы определить сумму боковых сторон. Теперь мы знаем всё, что нужно для нахождения периметра!

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим одну из диагоналей. Она делит трапецию на два треугольника, средние линии которых относятся как 2:1. Стало быть, одно из оснований трапеции в два раза больше другого. Поскольку их произведение равно 18, эти основания равны 6 и 3. Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма боковых сторон равна сумме оснований, то есть периметр равен $2⋅(6+ 3) =18.$

Ответ: