Вписанные углы и счёт углов в окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
лежат внутри окружности 
. Серединный перпендикуляр к отрезку 
пересекает 
в точках 
и 
. Окружность с
центром 
, проходящая через 
и 
, пересекает 
в точках 
и 
. Отрезок 
лежит внутри треугольника 
. Докажите,
что 
.
Источники:
Подсказка 1
Про окружность ω пока толком ничего не известно, а вот окружность с центром в D даёт сразу 4 равных отрезка (равенство радиусов) на чертеже. Посмотрите, что из этого можно взять для окружности ω.
Подсказка 2
Так как BD=DC, то дуги ВD и DC в ω равны, значит, AD — биссектриса ∠BAC.
Подсказка 3
Пусть I — точка пересечения отрезка АD и дуги BPQC, тогда по теореме о трилистнике I — центр вписанной в ΔABC окружности. Что же можно взять из этого факта, если в задаче нам нужно доказать равенство углов?
Подсказка 4
Конечно! То, что CI — биссектриса ∠BСА. Для завершения доказательства не хватает равенства ∠PCI и ∠ICQ, но это совсем несложно получить, если Вы ещё не забыли, чем по условию является AD для отрезка PQ.
Первое решение.
Пусть 
— точка пересечения отрезка 
и дуги 
. Так как 
, то 
— биссектриса угла 
и по теореме о
трилистнике 
— центр вписанной в треугольник 
окружности. Следовательно, 
— биссектриса угла 
. С другой стороны,
так как 
серединный перпендикуляр к 
, то 
, то есть 
— биссектриса угла 
. Из этих двух утверждений следует
утверждение задачи.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Обозначим 
. Необходимо доказать, что 
.
Заметим, что
Далее, 
, как центральный и вписанный в окружность ( 
), а также 
,
как центральный и вписанный в окружность ( 
). Тогда
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
В условии задачи дано, что точки 
и 
лежат не только внутри окружности 
, но и внутри вписанного в неё треугольника 
.
Последнее условие на самом деле излишне. Из остальных условий задачи следует, что точки 
и 
изогонально сопряжены относительно
треугольника 
. Но если обе изогональные точки лежат внутри описанной окружности, то они лежат и внутри треугольника, поскольку
при изогональном сопряжении три сегмента, ограниченные сторонами треугольника и дугами описанной окружности, переходят в три угла,
вертикальных углам треугольника
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
