Вписанные углы и счёт углов в окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На окружности по часовой стрелке поставлены точки 
, 
, 
, 
, 
. Известно, что 
. Пересечение отрезков
и 
обозначим через 
. На продолжении отрезка 
за точку 
выбрали точку 
так, что 
.
На продолжении отрезка 
за точку 
выбрали точку 
так, что 
. Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
Источники:
Подсказка 1
Угол BAP равен углу BDC как вписанный, а значит углы QAP и RDP тоже равны. Треугольники QAP и RDP равны, тогда PQ=QR.
Подсказка 2
Попробуем выделить равные уголки за счет вписанных четырёхугольников ACDE и ABDE. Каким углам равны соответственно RDE и QAE?
Подсказка 3
Что можно сказать про треугольники RDE и EAP, а также EQA и EDP? Они равны по 2 сторонам и углу между ними. Следовательно QE=RE=PE, тогда что можно сказать про точку E?
Подсказка 4
Е — центр описанной окружности, а следовательно PE — часть биссектрисы в равнобедренном треугольнике, а следовательно и часть высоты
Отметим равные углы: 
как вписанные углы, отсюда следует, что 
Рассмотрим треугольники 
и
У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти треугольники равны, тогда 
Тогда нужно
доказать , что 
является частью высоты в равнобедренном треугольнике.
.png)
Рассмотрим вписанные четырехугольники 
и 
Из вписанности получаем 
и 
Рассмотрим треугольники 
и 
У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти
треугольники равны, тогда 
Используя аналогичные рассуждения для треугольников 
и 
получаем что
В итоге получили, что точка 
равноудалена от вершин треугольника 
то есть является центром описанной
окружности равнобедренного треугольника. Следовательно, 
является частью высоты треугольника 
то есть
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
