Касание с окружностью и касание окружностей

Пусть для определенности углы — острые, обозначим . Так как — высота, то Пусть — середины соответственно.

Первое решение.

Отметим точку пересечения серединных перпендикуляров и к сторонам треугольника . Эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Заметим, что угол вдвое меньше центрального угла поэтому равен вписанному углу то есть При этом из вписанности четырёхугольника (два прямых угла дают вписанность). Тогда обратим внимание, что касается описанной окружности треугольника , так как угол между ней и хордой равен углу опирающемуся на эту хорду. По теореме о касательной и секущей получаем

Второе решение.

Не будем думать и посчитаем в синусах: из прямоугольных треугольников

Тогда получается

Наконец, по теореме синусов радиус описанной окружности равен