Касание с окружностью и касание окружностей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности 
и 
находятся внутри трапеции 
, касаясь друг друга, оснований трапеции, и каждая — своей боковой стороны.
Лучи 
и 
пересекаются в точке 
. Оказалось, что радиус вписанной окружности треугольника 
равен радиусу окружности
и равен 
Также известно, что 
. Найдите площадь треугольника 
Источники:
Подсказка 1
Для начала нужно заметить, что радиусы двух окружностей S1 и S2 равны (доказать этот факт не составит труда). После этого надо вписать окружность, которая является вписанной для BCK, в трапецию. Далее можно отметить все точки касания, равные углы и, может быть, заметить какие-то равенства.
Подсказка 2
После того, как мы отметили все равные отрезки, останется выразить высоту треугольника АDK через известные нам величины и найти площадь.
Радиусы 
и 
равны друг другу и высоте трапеции. Из условия про пересечение лучей следует, что 
— меньшее
основание.
Проведём вторую касательную к вписанной окружности треугольника 
параллельную основаниям трапеции. Обозначим за 
и
точки пересечения этой касательной с отрезками 
и 
— трапеция.
Точки касания окружностей и оснований трапеции образуют квадрат со стороной 
. Если вырезать этот квадрат из трапеции и склеить
оставшиеся части между собой, получится трапеция, равная 
.
Более точно, обозначим точки касания окружностей 
и 
с основаниями трапеции 
: пусть 
и 
лежат на 
(
ближе к 
), 
и 
лежат на 
( 
ближе к 
). Кроме того, пусть 
- точки касания вписанной
окружности 
с 
соответственно. Кроме того, пусть 
и 
- точки касания окружностей 
и
с боковыми сторонами трапеции, 
и 
- центры окружностей 
и вписанной окружности треугольника
.
Рассмотрим четырёхугольники 
и 
как соответственные. 
, 
прямые.
Значит оставшиеся углы, 
и 
также равны. Значит, треугольники 
и 
равны. Следовательно,
треугольники 
и 
также равны, а значит четырёхугольники 
и 
равны. Аналогично
Значит,
Пусть 
- длина высоты треугольника 
, проведённой из точки 
. Тогда длина высоты треугольника 
, проведённой из
точки 
равна 
. Значит, коэффициент подобия треугольников 
и 
с одной стороны равен 
, а с другой
, откуда 
. Значит, площадь треугольника 
равна
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
