Касание с окружностью и касание окружностей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В круговой сектор радиуса 
с центральным углом 
вписаны две окружности (обе касаются радиусов-сторон сектора,
друг друга внешним образом, а большая касается окружности сектора). Какую наибольшую долю может составлять расстояние между
центрами вписанных окружностей от величины 
и при каком значении 
это достигается?
Источники:
Подсказка 1
Попробуем ввести обозначения, переписать данное через эти переменные и выразить искомое через них. Что лучше взять за x и y?
Подсказка 2
Пусть радиусы окружностей будут x и y. Мы можем записать следствие из подобия прямоугольных треугольников с катетами - радиусами окружностей. Как можно выразить (x + y) / R?
Подсказка 3
Пусть t = y / R. Тогда искомое можно выразить через t. Это будет парабола, наибольшее значение которой на отрезке можно найти через вершину.
Обозначим радиусы малой и большой вписанных окружностей через 
и 
, введём величину 
. Отметим, что
.
.png)
Выразим стороны треугольника через радиусы трёх окружностей.
Из подобия прямоугольных треугольников получаем
Откуда
Расстояние между центрами вписанных окружностей 
равно 
.
Рассмотрим искомое отношение
Относительно величины 
это отношение есть парабола 
. Выразим параметр 
через угол 
.
Таким образом, при изменении 
от 
до 
параметр 
растёт от 
до 
. Остаётся найти максимум параболы 
на
полученном отрезке ![√-
[0; 2− 1]](/api/latex-service/v1/GetSession/173459/index-a1e4724423a002dd24c40158f01978e0.svg)
. Вершина параболы лежит правее отрезка, следовательно искомый максимум достигается при
и равен 
.
при 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
