Степень точки и радикальные оси
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность с центром 
касается сторон 
треугольника 
в точках 
Прямая,
перпендикулярная 
и проходящая через 
пересекает 
в точке 
Докажите, что середина отрезка 
лежит на прямой
Подсказка 1
Пусть X - середина BB₁. Если докажете, что XB₀² - степень точки X относительно вписанной окружности, то дело в шляпе.
Подсказка 2
Разовьем мысль из подсказки 1. Чтобы считать степень относительно вписанной окружности, удобно рассмотреть её в паре с какой-то другой окружностью или точкой. Желательно, чтобы X лежала на их радикальной оси.
Подсказка 3
Обратите внимание на прямоугольный треугольник BB₀B₁. Из него мы знаем, что XB₀ = XB. Это должно натолкнуть на дальнейшее развитие решения.
Пусть 
— середина 
Тогда хотим просто доказать, что 
касается вписанной окружности треугольника 
Заметим, что
точка 
лежит на прямой, проведённой через середины касательных 
и 
ведь эта прямая получается из прямой 
гомотетией с центром в точке 
и коэффициентом 
То есть точка 
лежит на радикальной оси точки 
и вписанной окружности.
Но мы знаем, что 
так как 
медиана прямоугольного треугольника. Поэтому 
а значит, 
касательная
к вписанной окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
