Степень точки и радикальные оси
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике угол
больше угла
— середина стороны
и
— основания высот, проведенных
из вершин
и
соответственно.
и
— середины отрезков
и
Прямая
пересекает прямую, проходящую через
параллельно
в точке
Докажите, что
Подсказка 1
Тут стоит реализовать решение, используя степень точки. Например, если бы TB² и TM² оказались степенями точки T относительно двух окружностей, и при этом T лежала бы на их радоси, задача была бы решена.
Подсказка 2
В задаче фигурирует ортоцентр, обозначим его H. Там, где он возникает, нетрудно найти нужную окружность, правда ведь?
Подсказка 3
Как насчёт окружности HA₁C₁ и точки M? Какая прямая является их радикальной осью?
Пусть — точка пересечения высот треугольника
Давайте обозначим за
описанную окружность треугольника
Она
проходит через
в силу прямых углов (да и вообще
диаметр
Заметим, что четырёхугольник
вписанный тоже в силу
прямых углов. Откуда получаем, что
то есть прямая касается окружности
Аналогично прямая
касается окружности
Также
касается окружности
в силу того, что центр
лежит на
Заметим, что прямая
является радикальной осью окружности
и точки
Значит
степень точки
относительно
и точки
одинаково. Поэтому
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность с центром касается сторон
треугольника
в точках
Прямая,
перпендикулярная
и проходящая через
пересекает
в точке
Докажите, что середина отрезка
лежит на прямой
Подсказка 1
Пусть X - середина BB₁. Если докажете, что XB₀² - степень точки X относительно вписанной окружности, то дело в шляпе.
Подсказка 2
Разовьем мысль из подсказки 1. Чтобы считать степень относительно вписанной окружности, удобно рассмотреть её в паре с какой-то другой окружностью или точкой. Желательно, чтобы X лежала на их радикальной оси.
Подсказка 3
Обратите внимание на прямоугольный треугольник BB₀B₁. Из него мы знаем, что XB₀ = XB. Это должно натолкнуть на дальнейшее развитие решения.
Пусть — середина
Тогда хотим просто доказать, что
касается вписанной окружности треугольника
Заметим, что
точка
лежит на прямой, проведённой через середины касательных
и
ведь эта прямая получается из прямой
гомотетией с центром в точке
и коэффициентом
То есть точка
лежит на радикальной оси точки
и вписанной окружности.
Но мы знаем, что
так как
медиана прямоугольного треугольника. Поэтому
а значит,
касательная
к вписанной окружности.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из вершины треугольника
проведены касательные
к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.
Докажите, что прямые
и касательная в точке
к окружности, описанной около треугольника
пересекаются в одной
точке.
Подсказка 1
Будет разумно сделать гомотетию в точке C с коэффициентом 2. Перевести окружность Эйлера в более естественную окружность, проходящую через A и B. При этом останутся те же касательные.
Подсказка 2
Также ход с гомотетией даёт ещё одно неочевидное преимущество. XY - радикальная ось новой окружности и точки C.
Подсказка 3
Кажется, теперь осталось отметить точку T как пересечение AB и XY и показать, что касательная через неё проходит.
Сделаем гомотетию с центром в точке и коэффициентом
Пусть окружность через середины перейдет в окружность
Тогда
прямая
является радикальной осью точки
и окружности
Давайте пересечём
и
в точке
Тогда, так как
проходит через точки
и
получаем, что
Откуда и следует, что
касается описанной окружности треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две хорды в круге взаимно перпендикулярны и точкой пересечения одна делится на отрезки см и
см, а другая делится на отрезки
см и
см. Найдите площадь этого круга.
Источники:
Подсказка 1
Скорее всего, вы знаете свойство длин отрезков, на которые делятся пересекающиеся хорды в окружности. Верно ли оно в данной задаче?
По свойству длин отрезков, на которые делятся пересекающиеся хорды, должно выполняться
Но это равенство неверно. Значит, такого круга не существует.
Такого круга не существует
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник Пусть
— его биссектриса,
— середина дуги
а
— проекиия ортоцентра на медиану, проведённую
из вершины
Окружность
пересекает прямую, проходящую через
и параллельную
в точке
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Внимательно посмотрите на картинку и отметьте все (на ваш взгляд) необходимые точки пересечения. Как можно было бы доказать нужное равенство? Быть может, можно найти какую-то полезную фигуру? Интуитивно понятно, что нам нужны новые объекты - давайте их проводить!
Подсказка 2
Проведите окружности CPW и AHB и изучите их точки пересечения. Что можно сказать про связь точки P с ними?
Подсказка 3
Точка P — пересечение медианы с дугой окружности AHB.
Подсказка 4
Докажите, что середина дуги AHB лежит на окружности CPW. А что можно сказать про отрезок, соединяющий точки пересечения указанных окружностей?
Подсказка 5
Докажите параллельность отрезка, соединяющего точки пересечения окружностей (AHB) и (CPW), и отрезка CQ.
Первое решение. Известно, что точка — пересечение медианы с дугой
Пусть
— середина этой дуги, а
—
середина
Точки
и
симметричные
и
относительно
лежат на описанной окружности
поэтому
откуда заключаем, что принадлежит окружности
Далее, так как луч
пересекает окружность
в точке
диаметрально противоположной точке
следовательно,
Отсюда
— средняя линия треугольника
то есть
— середина отрезка
Во вписанной трапеции
общий серединный перпендикуляр к
и
проходит через
что и даёт требуемое.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Пусть — точка на прямой
такая, что
Докажем, что точки
лежат на одной
окружности.
Рассмотрим композицию инверсии с центром и симметрии относительно
которая взаимно обменяет вершины
и
Эта же
композиция меняет местами прямую
и описанную окружность треугольника, поэтому
переходит в середину
дуги
а
—
в основание
внешней биссектрисы угла
точка Шалтая
переходит в точку пересечения касательных к окружности
проведённых в
и
Прямая при этом перейдёт в касательную к окружности
в точке
а окружность с центром
проходящая через
перейдёт в серединный перпендикуляр к
(поскольку образы точек
и
инверсны относительно этой окружности). Следовательно,
переходит в точку пересечения касательных в
и
Эта точка, образ точки и точка
лежат на одной прямой — поляре точки
относительно окружности
что завершает
доказательство.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Высоты и
остроугольного неравнобедренного треугольника
пересекаются в точке
Точка
— середина стороны
Описанная окружность треугольника
пересекает отрезок
в точке
Докажите, что
— биссектриса угла
Источники:
Подсказка 1
Если в контексте задачи фигурирует ортоцентр, то на картинке скорее всего будет много вписанных четырёхугольников и эта задача — не исключение.
Подсказка 2:
Обратите внимание на четырёхугольники MKB₁C и A₁HB₁C, а также на степень точки A относительно соответствующих окружностей и найдите ещё вписанные четырёхугольники.
Подсказка 3:
Если вы всё сделали верно, то четырёхугольники MKB₁C, A₁HB₁C, A₁HKM, AHKB₁ должны быть вписанными. Для завершения решения поперекидывайте угол ACB в окружностях.
Так как — высота, то
Аналогично
Тогда
— вписанный четырёхугольник, так как
Степень точки
относительно окружности
с одной стороны равна
с другой —
То есть
тогда
— вписанный, и аналогично из степени точки
получаем, что
Итого,
то есть — вписанный.
Так как и
— смежные углы и
— вписанный, то
откуда
Так как
— вписанный, то
из-за того, что и
— смежные углы. А также получаем:
Отсюда — вписанный, тогда
Из вписанности знаем, что
а из смежности знаем, что
Тогда
В треугольнике
и точка
— середина гипотенузы, значит,
то есть треугольник
—
равнобедренный, тогда:
Так как — вписанный, то
Тогда получаем, что:
— вписанный, тогда
так как
То есть
значит,
где
Получаем:
то есть значит,
— биссектриса
Что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны окружность и точка
Через точку
проведена прямая
пересекающая окружность в точках
и
Докажите, что
степень точки
относительно окружности
равна
если точка
лежит снаружи, и
если точка
лежит внутри окружности. В частности, если точка
лежит снаружи, то её степень равна квадрату касательной к этой
окружности.
Пусть — центр окружности
. Степень точки
относительно
по определению равна
где
Обозначим за
и
точки пересечения прямой
и окружности
(так, что
лежит на луче
). В силу вписанности четырёхугольника
получаем равенство углов
и
то есть треугольники
и
подобны. Откуда следует, что
Следовательно, достаточно доказать, что
А это верно, так как
и
если
находится
снаружи
и
если
внутри.
Теперь докажем, что степень точки равна квадрату длины касательной. Выберем точку
на
так, что
касается
Тогда
поэтому по теореме Пифагора получаем, что
Что и требовалось.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На луче отмечены точки
и
а на луче
отмечены точки
и
Докажите, что точки
лежат на одной
окружности тогда и только тогда, когда
Отметим точку на прямой
такую, что точки
лежат на одной окружности (такая точка очевидно, единственная).
Если описанная окружность треугольника
касается
то будем считать
Следовательно,
откуда
следует равенство длин отрезков
и
Легко видеть, что точка
не может лежать на отрезке
а значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В параллелограмме выполнено
— такая точка диагонали
что четырехугольник
вписанный. Докажите, что прямая
является общей касательной к описанным окружностям треугольников
и
Обозначим за центр параллелограмма
Тогда из вписанности
получаем, что
В силу того, что
является центром параллелограмма, прошлое равенство можно переписать как
Отсюда сразу следует, что описанные окружности треугольников и
касаются прямой
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность касается сторон угла
в точках
и
Прямая
пересекает отрезки
и
в точках
и
соответственно. Окружность
пересекает
в точках
и
Точки
и
выбраны на отрезке
так, что
параллельна
и
параллельна
Докажите, что точки
лежат на одной окружности.
Подсказка 1.
В такой задаче довольно плохо считаются углы, поэтому нужен другой подход. Какой?
Подсказка 2.
Правильно! Степень точки! Но пока нету точки, относительно которой было бы удобно считать степени. Поэтому нужно её построить.
Подсказка 3.
Давайте обозначим за X точку пересечения прямой KL и BC. Оказывается, X та самая нужная нам точка, относительно которой удобно считать степень, но нам понадобится еще один инструмент, который даст нам какие-то соотношения на отрезки. Какой?
Подсказка 4.
Правильно, теорема Фалеса! Напишите её условие и степень точки, и должно все получиться.
Если утверждение следует из симметрии относительно серединного перпендикуляра к
. Пусть
и
пересекаются в
.
Из параллельности, по теореме Фалеса, имеем
откуда
Так как точки
лежат на
выполняется
Следовательно,
что и
доказывает утверждение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан фиксированный отрезок и фиксированное число
Найдите ГМТ
таких, что разность квадратов расстояний до точек
и
равна
то есть
Опустим из одной из таких точек перпендикуляр на
и получим точку
По теореме Пифагора для треугольников
и
имеем
а значит,
Таким образом, точка не зависит от выбора точки
, так как одно из выражений
и
по модулю равно длине
отрезка
который фиксирован, а значит, второе из этих выражений не зависит от выбора точки
Все переходы выше равносильны,
поэтому искомое ГМТ — прямая перпендикулярная отрезку
Прямая перпендикулярная отрезку проходящая через точку
на отрезке такую, что разность отрезков
и
равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите следующие свойства радикальной оси.
(a) Радикальная ось — прямая, перпендикулярная линии центров двух соответствующих окружностей.
(b) Радикальная ось пересекающихся окружностей проходит через точки пересечения этих окружностей.
(c) Радикальная ось касающихся окружностей является их общей касательной, проходящей через точку касания этих окружностей.
(a) Пусть — центры, а
— радиусы окружностей
и
соответственно, точка
лежит на их радикальной. Тогда, по
определению,
следовательно,
Наконец, все такие точки лежат на прямой, которая перпендикулярна
(b) Заметим, что точки пересечения имеют одинаковую, а именно нулевую, степень точки относительно окружностей и
поэтому
они лежат на радикальной оси.
(c) Аналогично пункту (b) точка касания окружностей лежит на радикальной оси. Так как радикальная ось перпендикулярна линии центров, получаем, что она является их общей касательной.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть и
— касательные к окружности
и пусть
— середины отрезков
и
Пусть
— произвольная точка на
прямой
Докажите, что
где
— касательная к
Рассмотрим точку как окружность нулевого радиуса, тогда степень точки относительно неё будет равна квадрату расстояния. Заметим,
что точки
и
имеют одинаковые степени точки относительно
и окружности
следовательно, прямая
является их
радикальной осью, то есть
имеет одинаковую степень точки относительно
и
которая равна для них соответственно квадратам
длин отрезков
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике с углом
при вершине
медианы
и
пересекаются в точке
Прямая, проходящая через точку
и параллельная
пересекает описанную окружность треугольника
в точках
и
Найдите сумму углов
и
Подсказка 1:
На рисунке имеется много параллельных прямых. Значит, можно попереносить отношения. Не забывайте, в каком отношении центр тяжести делит медианы.
Подсказка 2:
Первая подсказка намекала на то, что надо найти, как сотносятся отрезки AN, NR и RB — как 3 : 1 : 2. Теперь, используя это, попробуйте как-то поработать с окружностью.
Подсказка 3:
Поработать нужно даже не с окружностью, а со степенью точек относительно неё. Обратите внимание на точку пересечения PQ и AB (обозначим её через R).
Подсказка 4:
Пусть NR = x, RB = 2x, AN = 3x. Наверное, вы записали, что RP • RQ = RN • RA = 4x². Быть может, в выражении 4x² можно разглядеть что-то другое помимо RN • RA?
Подсказка 5:
На самом деле 4x² = BR². Это позволит некоторым образом удачно перекинуть углы и что-то понять про прямые BP и BQ в угле ABC.
Подсказка 6:
Итак, вы поняли, что BP и BQ — изогонали в угле ABC, аналогично можно сказать про прямые CQ и CR в угле ACB. Теперь осталось лишь выразить требуемую сумму углов через угол BAC.
Обозначим через точку пересечения прямой
с отрезком
Заметим, что
— средняя линия треугольника
поэтому
Значит, по теореме Фалеса
последнее равенство следует из того, что — точка пересечения медиан треугольника
Обозначим Тогда
Поскольку четырёхугольник
вписанный,
имеем
Следовательно, прямая касается описанной окружности треугольника
поэтому
а тогда и
Рассуждая аналогично, получаем, что
Значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите следующие свойства радикальных осей.
(a) На плоскости даны три окружности и
. Если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке
, то
третья радикальная ось также проходит через эту точку. Такая точка
называется радикальным центром окружностей
и
.
(b) Если радикальные оси трёх окружностей не пересекаются в одной точке, то все эти радикальные оси параллельны, а центры окружностей лежат на одной прямой.
(a) Пусть — степень точки
относительно окружности
Если лежит на радикальной оси окружностей
и
и на радикальной оси окружностей
и
то
а значит, точка лежит и на радикальной оси окружностей
и
(b) Заметим, что тогда все радикальный оси должны быть попарно параллельны, иначе, если хотя бы две пересекаются, то можно применить пункт (a) и получить, что все пересекаются в общей точке.
Радикальные оси перпендикулярны линии центров. Таким образом, если все радикальные попарно параллельны, то и линии центров попарно параллельны, но каждые две имеют общую точку, поэтому совпадают.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике отмечены по две точки на каждой стороне: точки
и
на стороне
точки
и
на стороне
точки
и
на стороне
Известно, что четырехугольники
— вписанные. Докажите, что все
шесть точек
лежат на одной окружности.
Подсказка 1.
Если окружности не совпадают, то они попарно пересекаются, причем их общие хорды лежат на сторонах треугольника. Какую теорему можно попробовать применить в такой конструкции?
Подсказка 2.
Теорему о радикальном центре! Попробуйте сделать это и получить противоречие с изначальным предположением.
Предположим, что не все окружности совпадают, тогда, по теореме о радикальном центре, их радикальные оси (прямые
) пересекаются в одной точке, но эти прямые совпадают со сторонами треугольника, поэтому не имеют общих точек, чем получено
противоречие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На боковых сторонах трапеции как на диаметрах построены окружности. Докажите, что если точка пересечения диагоналей оказалась вне окружностей, то длины касательных из неё к окружностям равны.
Подсказка 1.
Нам нужно доказать равенство касательных из точки X. Как это можно переформулировать?
Подсказка 2.
Верно! Достаточно доказать, что X лежит на радикальной оси окружностей. Для этого хотелось бы как-то выразить степени точки X относительно них. Что может в этом помочь?
Подсказка 3.
На самом деле нужно найти секущие! Для этого опустим перпендикуляры из точек B и C на диагонали AC и BD соответственно. Обозначим их за B₁ и C₁. Как теперь можно переформулировать то, что X лежит на радикальной оси?
Подсказка 4.
Достаточно доказать вписанность четырёхугольника ADB₁C₁. Осталось только посчитать углы, но для этого надо заметить еще одну вписанность.
Обозначим вершины трапеции за
так, что
и
её боковые стороны;
— точка пересечения диагоналей трапеции;
и
— основания перпендикуляров, опущенных из точек
и
на диагонали
и
соответственно. Достаточно доказать,
что
лежит на радикальной оси этих окружностей.
Покажем, что Для этого достаточно доказать вписанность четырёхугольника
Заметим, что точки
лежат на одной окружности с диаметром
Тогда верна цепочка равенств:
из которой и следует искомая вписанность.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике проведены высоты
и
. Описанные окружности треугольников
и
вторично пересекаются в точке
. Докажите, что прямые
,
и
пересекаются в одной точке.
Так как то точки
лежат на окружности с диаметром
Заметим, что прямые
и
являются радикальными осями пар окружностей
соответственно, поэтому по теореме о радикальном центре они пересекаются в одной точке.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном неравнобедренном треугольнике точка
— центр описанной окружности
, касательные к которой в точках
и
пересекаются в точке
. Медиана треугольника, проведённая из вершины
, пересекает
в точке
. Докажите, что точки
и
лежат на одной окружности.
Заметим, что как отрезки касательных,
как радиусы описанной окружности, поэтому точки
и
лежат на
серединном перпендикуляре к
поэтому прямая
проходит через точку
— середину отрезка
,
поскольку являются углами между касательными и радиусом, следовательно, четырёхугольник
— вписанный,
следовательно,
С другой стороны, четырехугольник писанный, следовательно,
Приравнивая произведения отрезков касательных, имеем
откуда следует доказываемая вписанность.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На высоте остроугольного треугольника
отмечена точка
такая, что
точка
— ортоцентр треугольника
На отрезке
как на диаметре построена окружность. Докажите, что длина касательной, проведенной к этой окружности из
точки
равна длине отрезка
Подсказка 1.
Какой прием может помочь выразить длину касательной?
Подсказка 2.
Правильно, степень точки! Здесь помогает знание про то, что квадрат длины касательной равен степени точки, которую можно по перекидывать. Попробуйте это сделать.
Подсказка 3.
Стоит обратить внимание, что четырёхугольник AC₁A₁C вписанный.
Обозначим за основание высоты из
Тогда квадрат касательной равен
Первое равенство верно в силу вписанности четырехугольника а второе из подобия в прямоугольном треугольнике. Получили
то, что нужно по свойству касательной и секущей.