Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела окружности
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125227

Пусть O  — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC,  точка M  — середина стороны AC.  Прямая BO  пересекает высоты AA1  и CC1  в точках Ha  и Hc  соответственно. Описанные окружности треугольников BHaA  и BHcC  вторично пересекаются в точке K.  Докажите, что K  лежит на прямой BM.

Показать доказательство

Пусть BD  — диаметр описанной окружности треугольника ABC.  Поскольку ∠ADB = ∠ACB  и ∠BAD = 90∘ имеем

          ∘        ∘
∠CAHa = 90 − ∠C = 90 − ∠ADB = ∠ABHa,

следовательно, сторона AC  касается описанной окружности треугольника BHaA  . Аналогично она касается описанной окружности треугольника BHcC.  Радикальная ось BK  этих двух окружностей проходит через середину M  отрезка AC,  которая является их общей касательной.

PIC

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!