Степень точки и радикальные оси
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На боковых сторонах трапеции как на диаметрах построены окружности. Докажите, что если точка пересечения диагоналей оказалась вне окружностей, то длины касательных из неё к окружностям равны.
Подсказка 1.
Нам нужно доказать равенство касательных из точки X. Как это можно переформулировать?
Подсказка 2.
Верно! Достаточно доказать, что X лежит на радикальной оси окружностей. Для этого хотелось бы как-то выразить степени точки X относительно них. Что может в этом помочь?
Подсказка 3.
На самом деле нужно найти секущие! Для этого опустим перпендикуляры из точек B и C на диагонали AC и BD соответственно. Обозначим их за B₁ и C₁. Как теперь можно переформулировать то, что X лежит на радикальной оси?
Подсказка 4.
Достаточно доказать вписанность четырёхугольника ADB₁C₁. Осталось только посчитать углы, но для этого надо заметить еще одну вписанность.
Обозначим вершины трапеции за 
так, что 
и 
её боковые стороны; 
— точка пересечения диагоналей трапеции;
и 
— основания перпендикуляров, опущенных из точек 
и 
на диагонали 
и 
соответственно. Достаточно доказать,
что 
лежит на радикальной оси этих окружностей.
Покажем, что 
Для этого достаточно доказать вписанность четырёхугольника 
Заметим, что точки
лежат на одной окружности с диаметром 
Тогда верна цепочка равенств:
из которой и следует искомая вписанность.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
