Степень точки и радикальные оси
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырёхугольник 
в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность 
В треугольники 
вписаны окружности 
соответственно. Проведены общие внешние касательные к окружностям 
и 
и 
и 
и 
не содержащие сторон четырёхугольника 
Четырёхугольник, последовательные стороны которого лежат на
четырёх проведённых прямых (именно в таком порядке), вписан в окружность 
Докажите, что прямые, соединяющие центры
окружностей 
и 
и 
и 
пересекаются в одной точке.
Источники:
Пусть, не умаляя общности, лучи 
и 
пересекаются в точке 
лучи 
и 
пересекаются в точке 
Обозначим через 
центр окружности 
точки 
определим аналогично.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Лемма. Четырехугольник 
является прямоугольником, стороны которого параллельны биссектрисам внутренних углов 
и
Доказательство. Докажем, что прямая 
параллельна биссектрисе внутреннего угла 
Действительно, пусть 
и 
— середины дуг 
и 
не содержащие остальные вершины четырехугольника,
соответственно. Тогда в силу леммы о трезубце 
но прямая 
является биссектрисой угла 
поэтому
.png)
С другой стороны, углы между парами прямых 
и 
равны полусуммам пар дуг 
и 
а значит,
равны, следовательно, 
перпендикулярна биссектрисе угла 
Аналогично, 
параллельна последней.
.png)
Как известно, биссектрисы внутренних углов 
перпендикулярны, следовательно, четырехугольник 
суть прямоугольник,
поскольку пары его противоположных стороны параллельны биссектрисам.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перейдем к решению. Таким образом, в силу доказанной леммы точка пересечения прямых 
является центром
описанной окружности 
прямоугольника, т.е. достаточно показать, что окружности 
имеют общую радикальную
ось.
Обозначим четырёхугольник, образованный четырьмя касательными через 
(прямая 
— общая внешняя касательная к
и 
аналогично с тремя другими сторонами). Пусть прямая 
пересекает прямую 
в точке 
Точки обозначим через 
описанную окружность четырёхугольника 
Тогда точка 
— радикальный центр окружностей 
и 
поскольку она лежит на двух их радикальных осях. Значит,
радикальная ось окружностей 
и 
проходит через точку 
аналогично, на ней лежат и точки 
В частности, эти 4
точки лежат на одной прямой.
.png)
Пусть прямая 
пересекает сторону 
в точке 
и сторону 
в точке 
Поскольку 
то
поэтому четырёхугольник 
— вписанный. Поскольку 
и 
то по теореме
Фалеса
Из этого равенства отношений и вписанности 
мы получаем, что
то есть степень точки 
относительно окружностей 
и 
одинакова. Рассуждение для точек 
аналогично. Итого
доказано требуемое утверждение.
.png)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
