Степень точки и радикальные оси
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На отрезке 
как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка 
на этом отрезке. Девять лучей из точки 
делят развернутый угол 
на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках 
…, 
соответственно (в порядке
обхода от 
к 
). Докажите, что сумма площадей треугольников 
и 
равна площади четырехугольника
Источники:
Подсказка 1.
Подступиться к площадям из условия сложно, в таких задачах зачастую помогает прибавлять и вычитать области из обеих частей, чтобы получить что-то приятное.
Подсказка 2.
Избавимся от площади четырёхугольника и суммы площадей в одной из частей, сведя всё к равенству двух треугольников.
Подсказка 3.
Требуется доказать, что площади треугольников ZA₂A₈ и ZA₃A₇ равны. Какие формулы могут нам помочь?
Подсказка 4.
Сумма углов при вершине Z равна 180°, поэтому хотим доказать, что ZA₂⋅ZA₈=ZA₃⋅ZA₇.
Подсказка 5.
Надо доказать что-то про произведения отрезков, у каждого из которых один конец лежит на окружности. Это напоминает степени точек.
Подсказка 6.
Отразите картинку относительно XY.
Покажем, что 
Требуемое в условии равенство получается вычитанием из обеих частей этого равенства площади
серого треугольника с вершиной в точке 
а также добавлением площадей двух серых треугольников, примыкающих к хордам 
и
(см. рис.).
.png)
Заметим, что
поэтому синусы этих углов равны. Поэтому достаточно доказать, что 
Покажем, что оба произведения равны
Для этого достаточно доказать следующее вспомогательное утверждение.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Лемма. Пусть 
и 
— две точки на полуокружности с диаметром 
точка 
лежит на отрезке 
и 
Тогда
Доказательство. Отметим точку 
симметричную 
относительно 
Тогда четырёхугольник 
вписан в окружность с
диаметром 
Также в силу симметрии 
и
то есть точки 
лежат на одной прямой. Значит, 
— точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника 
поэтому
.png)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Таким образом, лемма доказана, что завершает решение задачи.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
