Степень точки и радикальные оси

Первое решение. Обозначим через середины сторон соответственно. По условию, четырехугольник — вписанный. Значит,

Поскольку — средняя линия треугольника то поэтому Пусть отрезки и пересекаются в точке

Опустим из точки перпендикуляр на прямую Тогда значит, — середина отрезка по теореме Фалеса. Кроме того, четырехугольник вписан в окружность, построенную на отрезке как на диаметре, обозначим центр этой окружности через Вновь по теореме Фалеса проекции точек и на прямую находятся на равном расстоянии от проекции точки то есть от середины отрезка Из этого следует, что Итого,

Значит, — средняя линия в треугольнике поэтому

Поскольку еще и — средняя линия треугольника то Следовательно, точки и лежат на окружности с диаметром что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Воспользуемся обозначениями из первого решения, середины сторон соответственно. Поскольку — средняя линия треугольника то Отсюда и из вписанности четырехугольника мы получаем равенства углов:

Таким образом, вписанность четырехугольника равносильна равенству углов

что эквивалентно равенству

Последнее равенство равносильно подобию треугольников и что эквивалентно равенству отношений их катетов

Домножая на знаменатели, получаем соотношение

Рассуждая аналогично, получаем, что это же равенство равносильно вписанности четырехугольника Поскольку — средняя линия треугольника то Отсюда и из вписанности четырехугольника мы получаем равенства углов:

Таким образом, вписанность четырехугольника равносильна равенству углов

что эквивалентно равенству

Последнее равенство равносильно подобию треугольников и что эквивалентно равенству отношений их катетов

Домножая на знаменатели, получаем соотношение

что завершает данное доказательство.