Степень точки и радикальные оси
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
провели высоты 
и 
. Обозначим через 
точку пересечения 
и 
, через 
— середину
, а через 
— середину 
.
а) Докажите, что точки 
лежат на одной окружности.
б) Докажите, что точки 
и 
лежат на одной окружности.
Подсказка по пункту (а)
Посчитайте уголки :) На самом деле, при счёте углов полезно понимать, какие углы на этой картинке найти легко (выразить, скажем, через углы исходного треугольника), а какие — не очень. В данном случае достаточно приятно выражать углы A₁C₁B₁ и A₁KB₁. Каждый из этих углов не трудно посчитать, обозначим через α, β , γ углы треугольника ABC.
Подсказка по пункту (б)
Вспоминаем ещё раз: чтобы использовать степень точки, нужна хорошая точка. Её пока нет. Вы хотите вводить пересечение диагоналей AM и BP (допустим, у Вас на картинке именно это диагонали)? Вы не хотите вводить пересечение диагоналей AM и BP. Зато удобно пересечь PM (оно же A₁B₁) с AB, обозначим точку через T. У вас уже есть вписанность C₁KB₁A₁ и АBA₁B₁ (Вы же понимаете, что он вписанный?). Чтобы случилось счастье, нужно найти ещё один вписанный четырёхугольник, связанный с точками P и M (и нет, это пока не ABPM — мы же хотим потом через степень точки доказать его вписанность). Вариантов не так много, докажите эту вписанность, посчитав углы. Может оказаться полезным, что А₁K = B₁K. Подумайте, почему это так!
а) Будем доказывать равенство 
, пусть 
— углы треугольника, тогда
(фигуры вида 
вписаны, где 
будет диаметром). Далее
— 
— медиана прямоугольного треугольника, откуда внешний угол
, откуда 
вписан.
б) Заметим, что 
— снова медианы прямоугольных треугольников, откуда 
, как медиана
равнобедренного треугольника, но тогда 
, поскольку оба они прямые, откуда 
вписан, теперь мы готовы
писать степень точки для 
, она равна
Пользуемся вписанностью 
, 
и 
соответственно, снова из равенства первого и последнего имеем
вписанность 
.
а) что и требовалось доказать
б) что и требовалось доказать
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
