Степень точки и радикальные оси
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из вершины тупого угла 
треугольника 
опущена высота 
Проведена окружность с центром 
и радиусом 
, которая
вторично пересекает стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно. Найдите 
, если 
и
Источники:
Подсказка 1
Высота в прямоугольном треугольнике создаст множество различных, удобных для нас подобий, давайте опустим высоты DP и DQ на стороны AB и AC соответственно. Подумайте, какие именно пропорции будут удобны нам для дальнейшего решения.
Подсказка 2
Если вы правильно выбрали пропорции из подобий прямоугольных треугольников на картинке, то заметили, что AP*AB=AD^2 и AQ*AC=AD^2, следовательно, AP*AB=AQ*AC. Подумайте, как от этого выражения перейти к тому, в котором AC будет выражаться через AB, AM, AN (Воспользуйтесь тем, что треугольники ADM и ADN - равнобедренные)
Докажем, что 
Это можно сделать по-разному.
Первый способ. В прямоугольных треугольниках 
и 
проведём высоты 
и 
соответственно (см. рис.
10.4a). Тогда 
Так как треугольники 
и 
равнобедренные, то 
и
.
Заменив 
и 
в равенстве 
, получим требуемое.
Второй способ. Докажем, что четырёхугольник BMNC вписанный, тогда требуемое равенство будет следовать из теоремы об отрезках
секущих, применённой к точке 
и окружности, описанной вокруг четырёхугольника BMNC (см. рис. 10.46).
Пусть 
, тогда 
(вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, из
равнобедренного треугольника 
, поэтому 
Из равенства 
следует, что BMNC -
вписанный.
После того, как доказано указанное равенство, достаточно подставить в него данные из условия задачи и получить ответ.
Третий способ. Пусть данная окружность пересекает отрезки 
и 
в точках 
и 
соответственно, а ее радиус равен 
(см.
рис. 10.4в). Тогда по теореме об отрезках секущих: 
, то есть 
Из треугольника 
по теореме Пифагора: 
Следовательно, 
, откуда c.
.
Проведя аналогичное рассуждение для стороны 
, получим, что 
Тогда 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
