Степень точки и радикальные оси
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая (две точки взяты на двух разных окружностях). Докажите, что окружности высекают на ней равные хорды.
Подсказка 1
Давайте посмотрим на картинку. Если мы уже знаем степень точки, то относительно каких точек и каких окружностей, которые уже есть на картинке, эту степень можно было бы написать?
Подсказка 2
Верно, относительно точек, которые были задают прямую из условия, и относительно окружностей, которые не содержат каждую из точек. Попробуйте расписать эту степень, чтобы получилось два равенства. Что тогда можно сказать?
Подсказка 3
С одной стороны, каждая из степеней равна квадрату отрезка, который соединяет «не противоположные» точки касания. С другой стороны, на каждой из общих внешних касательных этот отрезок равен. В таком случае, мы получили, что произведение отрезка из условия и произведения этого же отрезка без первой хорды из условия, и произведение отрезка из условия на произведение этого же отрезка без второй хорды из условия, равны. Значит, получили требуемое!
Обозначим окружности за 
и 
. Пусть одна общих из касательных касается окружностей 
и 
в точках 
и 
, а вторая — в
точках 
и 
соответственно. Обозначим за 
и 
вторые точки пересечения прямой 
с окружностями 
и 
соответственно.
Достаточно доказать, что 
что равносильно равенству 
Из свойств касательных и секущих имеем равенства
а из симметрии относительно линии центров следует, что длины отрезков 
и 
равны, следовательно, 
что и
требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
