Степень точки и радикальные оси

Лемма. Если в точках и лежащих на окружности, провести касательные к окружности и по одну сторону от прямой отложить на них равные отрезки и то существует окружность, касающаяся прямых и в точках и

Доказательство. Если , то доказательство очевидно.

Если прямые и пересекаются в точке (рис.1), а — центр данной окружности, то — биссектриса угла

поэтому перпендикуляры к сторонам угла восставленные из точек и пересекаются на в некоторой точке равноудалённой от сторон угла. Следовательно, — центр окружности касающейся сторон угла в точках и Лемма доказана.

Вернёмся к задаче. Пусть вписанная окружность шестиугольника касается его сторон и соответственно в точках и . На лучах и отложим отрезки соответственно По лемме существуют окружности: касающаяся прямых и в точках и - касающаяся прямых и в точках и - касающаяся прямых и в точках и

Из равенств и следует, что а из равенств и следует, что Значит, у точек и одинаковые степени относительно окружностей и (касательные, проведённые из точек и к этим окружностям, попарно равны). Следовательно, прямая - радикальная ось этих окружностей. Аналогично докажем, что прямая — радикальная ось окружностей и а прямая - радикальная ось окружностей и Поскольку центры окружностей и не лежат на одной прямой, их радикальные оси пересекаются в одной точке — радикальном центре трёх этих окружностей.

Замечание. Задача известна как “теорема Брианшона”, но в данном случае нужно напрямую доказать её, а не просто сослаться.