Степень точки и радикальные оси
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что диагонали 
и 
описанного шестиугольника 
пересекаются в одной точке.
Подсказка 1
Подумайте, как в данной задаче может помочь тот факт, что у трех окружностей, центры которых не лежат на одной прямой, радикальные оси пересекаются в одной точке.
Подсказка 2
Чтобы доказать, что диагонали пересекаются в одной точке, нам достаточно будет найти три окружности, на радикальных осях которых лежат диагонали нашего шестиугольника. Подумайте, как можно найти данные окружности.
Подсказка 3
В данной задаче нам поможет одна небольшая лемма. Она гласит, что если в точках P и Q, лежащих на окружности, провести касательные к окружности и по одну сторону от прямой PQ отложить на них равные отрезки P’P и Q’Q , то существует окружность, касающаяся прямых P’P и Q’Q в точках P’ и Q’. Попробуйте доказать ее самостоятельно и подумайте, как она может помочь в решении.
Подсказка 4
Когда мы доказали лемму, давайте с её помощью построим три окружности, одна будет касаться сторон AB и ED, вторая - BC и EF, третья - AF и CD, таким образом, чтобы расстояния между точкой касания окружности, вписанной в шестиугольник, и точкой касания окружности, которую мы строим, с той же прямой было равным для всех прямы и окружностей. Другими словами, мы от точек касания окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, откладываем равные отрезки.
Подсказка 5
Если мы докажем, что для точек A и D отрезки касательных к первой и второй окружностям попарно равны, то докажем, что AD - радикальная ось, а аналогичными размышлениями для пар точек B, E и F, C мы докажем необходимое нам утверждение. Подумайте, как это можно сделать. Помните, что ранее мы откладывали равные отрезки, а отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны!
Лемма. Если в точках 
и 
лежащих на окружности, провести касательные к окружности и по одну сторону от прямой 
отложить на них равные отрезки 
и 
то существует окружность, касающаяся прямых 
и 
в точках 
и
Доказательство. Если 
, то доказательство очевидно.
Если прямые 
и 
пересекаются в точке 
(рис.1), а 
— центр данной окружности, то 
— биссектриса угла
поэтому перпендикуляры к сторонам угла 
восставленные из точек 
и 
пересекаются на 
в некоторой точке 
равноудалённой от сторон угла. Следовательно, 
— центр окружности касающейся сторон угла в точках 
и 
Лемма
доказана.
Вернёмся к задаче. Пусть вписанная окружность шестиугольника 
касается его сторон 
и 
соответственно в точках 
и 
. На лучах 
и 
отложим отрезки соответственно
По лемме существуют окружности: 
касающаяся прямых 
и 
в точках 
и
- касающаяся прямых 
и 
в точках 
и 
- касающаяся прямых 
и 
в точках 
и
Из равенств 
и 
следует, что 
а из равенств 
и 
следует, что 
Значит, у точек 
и 
одинаковые степени относительно окружностей 
и 
(касательные, проведённые из точек 
и 
к этим
окружностям, попарно равны). Следовательно, прямая 
- радикальная ось этих окружностей. Аналогично докажем, что прямая 
—
радикальная ось окружностей 
и 
а прямая 
- радикальная ось окружностей 
и 
Поскольку центры окружностей
и 
не лежат на одной прямой, их радикальные оси пересекаются в одной точке — радикальном центре трёх этих
окружностей.
Замечание. Задача известна как “теорема Брианшона”, но в данном случае нужно напрямую доказать её, а не просто сослаться.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
