Степень точки и радикальные оси

Заметим, что по лемме Архимеда прямая проходит через середину дуги описанной окружности, не содержащей точку Аналогично, прямая проходит через середину дуги не содержащей вершину Обозначим середины этих дуг через соответственно.

Из той же леммы Архимеда следует, что Следовательно, степень точки одинакова относительно окружности и точки Аналогичное утверждение верно и для точки Из этого следует, что прямая — радикальная ось точки и окружности Поэтому прямая проходит через середины отрезков Значит, прямая содержит среднюю линию треугольника Следовательно, образ точки при отражении точки относительно прямой лежит на прямой

С другой стороны, по лемме о трезубце и Поэтому точка при отражении относительно прямой переходит в точку Откуда и следует, что точка лежит на прямой

Замечание. Предложенный в задаче факт известен как Лемма Варьера (Веррьера). Но нельзя сразу написать, что Вы знаете такую лемму и всё очевидно. Задача заключается в том, чтобы напрямую доказать эту лемму.