Степень точки и радикальные оси

Отметим точки  – точки касания второй окружности с отрезком и окружностью и вторую точку пересечения и окружности Согласно лемме Архимеда, точки лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольники и Они подобны, так как равны их углы при вершине угол при вершине первого треугольника опирается на дугу угол при вершине второго опирается на дугу окружности и эти дуги равны. Отсюда Отметим, что это степень точки относительно второй окружности; она же равна квадрату длины касательной, проведенной из вершины ко второй окружности.  – касательная ко второй окружности, проведенная из точки Поэтому,

В частности, треугольник равнобедренный и Отметим  – точку пересечения и окружности равен полусумме дуг и  – и Отсюда, поскольку дуги и равны, следует равенство дуг и Тогда равны и углы и на них опирающиеся, откуда  – биссектриса угла треугольника