Степень точки и радикальные оси
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На отрезке 
выбрали точку 
На отрезках 
и 
в одну и ту же сторону построены равносторонние треугольники 
и
Их описанные окружности пересекаются по прямой 
Докажите, что вне зависимости от выбора точки 
прямая 
всегда проходит через какую-то фиксированную точку.
Подсказка 1.
В задачах, где требуется доказать, что некоторая прямая проходит через фиксированную точку, обычно эту точку нужно сначала "угадать". Для этого полезно рассмотреть простые частные случаи расположения подвижных точек конструкции. Иногда достаточно рассмотреть "предельные" положения или симметричные конфигурации, чтобы заметить закономерность. Попробуйте найти какое-нибудь простое положение точки M и посмотреть, как ведёт себя прямая MN.
Подсказка 2.
Пусть M — середина AB. Тогда прямая MN становится серединным перпендикуляром к AB. Значит, искомая фиксированная точка T должна лежать на этой прямой. Это уже серьёзное ограничение, которое помогает угадать точку!
Другой подход — двигать точку M так, чтобы она "стремилась" к A, и посмотреть, во что превращается прямая MN в "предельном" случае. Это может помочь угадать точку T.
Подсказка 3.
Оказывается, точка T такова, что треугольник ATB — правильный! Остаётся это доказать. Для этого можно воспользоваться тем, что прямая MN является радикальной осью двух окружностей, связанных с данной конфигурацией.
Точка 
такова, что треугольник 
— равносторонний и точки 
и 
лежат по разные стороны относительно прямой 
Заметим, что 
а значит, прямая 
касается описанной окружности треугольника 
Аналогично 
касается описанной окружности треугольника 
.png)
Так как отрезки 
и 
равны, получаем, что степени точки 
относительно этих окружностей равны, то есть она лежит на их
радикальной оси, которая совпадает с общей хордой 
Осталось заметить, что точка 
не зависит от выбора точки
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
