Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела окружности
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#84750

В окружности ω,  описанной около треугольника ABC,  хорда KL  проходит через середину M  отрезка AB  и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки L  и M  и пересекает отрезок CK  в точках P  и Q  (Q  лежит на отрезке KP  ). Пусть LQ  пересекает описанную окружность треугольника KMQ  в точке R.  Докажите, что четырехугольник APBR  вписанный.

Показать доказательство

PIC

Заметим, что

∠PML  =∠P QL= ∠KQR  =∠KMR

Кроме того, ∠PLM  =∠KQM  = ∠KRM,  следовательно, треугольники PLM  и KRM  подобны, т.е. PM ⋅RM = LM ⋅KM  =AM2.

Пусть P ′ — точка, симметричная P  относительно KL.  Точки A,B,P,P′ лежат на одной окружности, так как являются вершинами равнобедренной трапеции. Поскольку P′,M, R  лежат на одной прямой и P′M ⋅RM = AM ⋅BM,  точка R  также лежит на этой окружности.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!