Степень точки и радикальные оси
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из точки 
, лежащей вне окружности 
проведены касательные 
и 
. Обозначим за 
и 
– середины отрезков
и 
соответственно. На прямой 
выбрана произвольная точка 
, из которой к 
проводятся касательные 
и
Прямая 
пересекает прямую 
в точке 
. Докажите, что 
.
Подсказка 1.
Для начала нужно понять, чем является прямая EF для окружности ω и точки A. Попробуйте это сделать.
Подсказка 2.
Правильно! Прямая EF совпадает с радикальной осью окружности ω и точки A. Утверждение задачи можно переформулировать: нужно доказать, что три определённые прямые пересекаются в одной точке. Попробуйте это сделать.
Подсказка 3.
Ага! Достаточно доказать, что прямые PQ, EF и перпендикуляр в точке A к DA пересекаются в одной точке, причём одна из них является радикальной осью. На что это похоже?
Подсказка 4.
На теорему о радикальном центре! Но для её применения нужно найти третью окружность (помимо точки A и ω). В этом могут помочь прямые, конкурентность которых мы хотим доказать — они должны являться радикальными осями для данных окружностей.
Заметим, что точки 
и 
лежат на радикальной оси точки 
и окружности 
, так как 
и 
. Значит, 
радикальная ось и на ней лежит 
. Тогда 
.
Теперь рассмотрим радикальный центр точки 
, 
и окружности с центром в 
и радиусом 
. Тогда у первых
двух окружностей радикальная ось 
, а у второй и третьей 
. Значит, 
— их радикальный центр. Радикальная
ось между точкой 
и окружностью с центром 
и радиусом 
— это перпендикуляр к 
в точке 
. Значит,
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
