Степень точки и радикальные оси
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырехугольник 
вписан в окружность с центром 
Точки 
— точки пересечения биссектрис углов 
и 
и 
и 
и 
соответственно. Четырехугольник 
вписан в окружность с центром 
Докажите, что диагонали
четырехугольника 
и прямая 
пересекаются в одной точке.
Подсказка 1
Обозначим точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD за K. Что известно про прямую OK в этом случае?
Подсказка 2
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке M, прямые BC и AD — в точке N. Тогда MN - поляра точки K относительно окружности (ABCD), то есть OK перпендикулярно MN. Осталось показать, что OT перпендикулярно MN. В каких известных вам конструкция линия центров перпендикулярна некоторой прямой?
Подсказка 3
Линия центров окружности перпендикулярна их радикальной оси. Достаточно доказать, что, например, M имеет одинаковую степень точек относительно окружностей (ABCD) и (PQRS). Как это можно сделать?
Подсказка 4
Докажите, что прямая QS проходит через точку M и является биссектрисой угла AMD. Осталось показать, что точки B, Q, S, A лежат на одной окружности.
Если 
–– трапеция, то все указанные точки лежат на ее оси симметрии. Пусть прямые 
и 
пересекаются в точке 
прямые 
и 
— в точке 
Пусть 
— точка пересечения диагоналей 
и 
Заметим, что 
(например, потому,
что 
есть поляра точки 
относительно нашей окружности).
.png)
Достаточно доказать, что 
Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что 
есть радикальная ось окружностей
и 
Докажем, например, что точка 
лежит на этой радикальной оси. Не умаляя общности, 
лежит на лучах 
и
Тогда 
— центр вневписанной окружности треугольника 
—- центр вписанной окружности треугольника 
Поэтому прямая 
есть биссектриса угла 
Если, скажем, 
лежит на отрезке 
(второй случай аналогичен), то
имеем
так что точки 
лежат на одной окружности и 
Это и означает, что степени точки 
относительно
окружностей 
и 
равны.
.png)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
