Тема Окружности

Степень точки и радикальные оси

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 121#112346Максимум баллов за задание: 7

Периметр треугольника $ABC$ равен $4.$ На лучах $AB$ и $AC$ отмечены точки $X$ и $Y$ так, что $AX = AY =1.$ Отрезки $BC$ и $XY$ пересекаются в точке $M.$ Докажите, что периметр одного из треугольников $ABM$ или $ACM$ равен $2.$

Источники: Всеросс., 2011, ЗЭ, 10.4(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче идёт речь о периметре. Как известно, с периметром хорошо дружит вневписанная окружность, там кое-где возникают отрезки, длина которых через него хорошо выражается. Попробуйте рассмотреть такую окружность напротив точки A.

Подсказка 2:

Итак, вы, вероятно, вычислили длину отрезков AX' и AY', где X' и Y' - точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон. А что можно сказать про отрезок XY в треугольнике AX'Y'?

Подсказка 3:

Обратите на точку A и вневписанную окружность. Где их радикальная ось? В дальнейшем останется только посчитать отрезки.

Показать доказательство

Пусть вневписанная окружность треугольника $ABC$ напротив вершины $A$ касается стороны $BC$ в точке $Z ′,$ а прямых $AB$ и $AC$ в точках $′ X$ и $′ Y$ соответственно. Из условия периметр $ABC$ равен $4,$ а значит, отрезки $′ AX$ и $′ AY$ равны $2.$ То есть прямая $XY$ является средней линей треугольника $′′ AX Y .$ Значит, $XY$ радикальная ось вневписанной окружности и точки $A.$ Откуда $′ MZ = MA.$ Пусть $Y$ лежит на отрезке $AC.$ Тогда периметр треугольника $ABM$ равен

AB +AM +BM =AB + MZ ′+BM =

′ ′ ′ =AB + BZ = AB + BX = AX =2

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 122#112347Максимум баллов за задание: 7

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $Z$ и $Y$ соответственно. Прямые $BY$ и $CZ$ пересекаются в точке $G.$ Точки $R$ и $S$ выбираются так, что четырехугольники $BCY R$ и $BCSZ$ — параллелограммы. Докажите, что $GR = GS.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С учётом наличия параллелограммов и отрезков касания можно найти много равных отрезков. А чтобы найти ещё больше равных отрезков, можно к этому всему добавить вневписанную окружность напротив точки A.

Подсказка 2

А зачем искать равные отрезки? Как их использовать? Есть предложение - пойти через радикальные оси. Если доказать, что G - радикальный центр точек R, S и ещё какой-то окружности, то задача решена. Третья окружность, кажется, в представлении не нуждается.

Показать доказательство

Пусть $ω A$ — вневписанная окружность $△ABC,$ которая касается стороны $BC$ в точке $D,$ а продолжения сторон $AB$ и $AC$ в точках $F,$ $E$ соответственно. Заметим, что $BZ = CS = CD = CE$ и $CY = BD = BF = BR.$ Поэтому точка $B$ и точка $Y$ лежат на радикальной оси окружности $ωA$ и точки $R.$ Аналогично прямая $CZ$ является радикальной осью $ωA$ и точки $S.$ Следовательно, точка $G$ лежит на радикальной оси точки $R$ и точки $S.$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 123#125434Максимум баллов за задание: 7

Окружности $ω 1$ и $ω 2$ пересекаются в двух точках на прямой $ℓ$ , как и окружности $ω 3$ и $ω 4$ . Центры $ω 1$ и $ω 3$ находятся по одну сторону от прямой $ℓ$ . Докажите, что точки пересечения пар окружностей $ω1$ и $ω3,ω2$ и $ω4$ лежат на одной окружности или прямой.

Показать доказательство

Пусть окружности $ω, 1$ $ω 2$ пересекаются в точках $A,B;$ $ω, 2$ $ω 3$ — в точках $X,Y;$ $ω ,ω 2 4$ — в точках $P,Q;$ $ω ,ω 1 3$ — в точках $R,S;$ $T$ — пересечение прямых $ℓ$ и $XY.$

Точка $T$ является пересечением радикальных осей $AB$ и $XY$ пар окружностей $ω1,ω2$ и $ω2,ω3,$ а значит лежит на радикальной сои окружностей $ω1,ω3$ — прямой $RS,$ причем

RT ⋅TS =XT ⋅TY.

Аналогично прямая $PQ$ проходит через $T,$ причем $PT ⋅TQ =XT ⋅TY.$

Приравнивая произведения отрезков секущих, получим $RT ⋅TS = PT ⋅TQ,$ что равносильно доказываемой выписанности.

$PIC$