Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вневписанная окружность 
треугольника 
касается продолжения стороны 
за точку 
в точке 
Окружность 
касается окружности 
внутренним образом в точке 
а диаметр окружности 
равен длины высоты треугольника 
из
вершины 
Докажите, что окружности 
и 
касаются.
Подсказка 1
Как проверить, что описанная окружность некоторого треугольника касается другой окружности.
Подсказка 2
Достаточно показать, что выполнено условие слабой теоремы Кэзи BK · AC − CK · AB − KH · BC = 0. Как это сделать?
Подсказка 3
Отрезки BK, CK хорошо выражаются через стороны треугольника ABC. Вспомните как.
Подсказка 4
Если длины сторон AB, BC, CA равны соответственно 2a, 2b, 2c, тогда BK = a + b + c; CK = b + c − a. Чему должно быть равно HC, чтобы доказываемое равенство обратилось в верное?
Подсказка 5
Достаточно доказать, что HC = (b² + a² − c²) / a. Сделайте это.
Подсказка 6
Равенство верно из определения косинуса в △AHC и формулы косинуса ∠C в △ABC.
Пусть 
— основание высоты из вершины 
— диаметр окружности 
Поскольку 
четырехугольника 
является прямоугольником, следовательно, 
В силу слабой теоремы Кэзи достаточно показать, что
то есть, в силу равенства 
Пусть длины сторон 
равны соответственно 
тогда
Таким образом, доказываемое неравенство примет вид
для этого достаточно показать, что
что верно из определения косинуса в 
и формулы косинуса 
в 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
