Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея

Пусть — окружность, которая касается описанной. По теореме Кэзи для окружностей каждая из который лежит на окружности или касается ее, имеем

а поскольку, сократив на что полученное неравенство, получим требуемое.

Замечание. В случае, когда является точкой, утверждение дает теорему Помпею.

Окружность касается поскольку линия их центров проходит через общую точку аналогично касается

Пусть — длина общей внешней касательной к окружностям и

По теореме Кези для окружностей каждая которая лежит на окружности или касается ее, имеем

поскольку касается окружностей и

Тем самым, достаточно показать, что отрезки и равны. Это верно, поскольку каждый из них равен

Пусть — исходный треугольник, — середины стороны соответственно, — вписанная окружность, — точки касания с соответствующими сторонами, — точка Фейербаха.

По теореме Кэзи для имеем

следовательно,

Аналогично,

Без ограничений общности будем считать, что Тогда

следовательно,

что завершает доказательство.

Пусть — основание высоты из вершины — диаметр окружности Поскольку четырехугольника является прямоугольником, следовательно,

В силу слабой теоремы Кэзи достаточно показать, что

то есть, в силу равенства

Пусть длины сторон равны соответственно тогда

Таким образом, доказываемое неравенство примет вид

для этого достаточно показать, что

что верно из определения косинуса в и формулы косинуса в

Пусть — точка пересечения прямых и . Прямая является биссектрисой внешнего угла следовательно,

По слабой теореме Кэзи для и точек имеем

следовательно,

то есть

Наконец, точки лежат на одной прямой, поскольку для них выполнено условие теоремы Менелая

поскольку

Пусть — данные окружности с центрами которые касаются описанной окружности и соответствуют точкам соответственно, окружность — вписанная в окружность с центром

Пусть — длина общей касательной к окружностям и Докажем, что

где и — длины общих внешних касательных, а и — длины общих внутренних касательных.

Будем рассматривать точки как вырожденные окружности радиуса 0. Через будем обозначать длины касательных из точки к окружности

Запишем теорему Кэзи для окружностей (они все касаются описанной вокруг треугольника окружности):

Отсюда получаем

Аналогично

Запишем теорему Кэзи для окружностей и

откуда, используя и получаем

Аналогично

Теперь найдем

здесь — точки касания сторон треугольника со вписанной окружностью.

Подставив в после упрощения получим

Это выражение равно если

так как

Условие равносильно условию конкурентности прямых т.е.

Обозначим за точки пересечения прямых и с прямой соответственно. Пусть — середина отрезка Заметим, что инверсия с центром в точке и радиусом меняет местами прямую и окружность а, значит, при этой инверсии окружности и остаются на месте. Следовательно, описанная окружность треугольника касается окружностей и а длина касательной из точки к окружностям равна Теперь применим теорему Кэзи для и получим

Также напишем Кэзи для и получим

Вычтем из равенства равенство. Получим

Из этого получаем, что а, значит, точка лежит на биссектрисе угла Теперь сложим и и получим

В левой части получаем просто удвоенную площадь треугольника а правая часть умноженная на равна сумме удвоенных площадей треугольников и А значит

Пусть центр окружности, — середина отрезка Поскольку отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды перпендикулярен этой хорде,

Заметим, что

т.к.

Далее, в четырёхугольнике три угла прямые, т.е. этот четырёхугольник — прямоугольник,

Тогда в прямоугольном треугольнике проведена высота на гипотенузу. По теореме Пифагора Так как катет есть среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на неё, то Откуда получаем ответ.

Прямые и параллельны, поэтому углы и равны (обозначены на рисунке цифрой 2 ), аналогично равны углы и (обозначены на рисунке цифрой 3). Отсюда следует подобие треугольников и с коэффициентом подобия 4 и равенство углов и (обозначены на рисунке цифрой 1). Заметим, что .

Покажем, что треугольник подобен треугольникам и , вершины треугольников перечислены в порядке соответствия. Углы и , полученные при пересечении прямой параллельными прямыми и , равны как внутренние накрест лежащие. Сумма углов и равна , как сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника. Значит, угол и треугольник подобен треугольникам и .

Положим и , тогда и . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия , и стороны и треугольника соответствуют сторонам и треугольника , поэтому . Значит, и, треугольники и подобны с коэффициентом подобия 2. Следовательно, сторона в два раза длиннее стороны , т.е. длина стороны равна 2.

Поскольку четырёхугольник вписанный и как опирающиеся на одну дугу. Аналогично,

По условию — вписанный, поэтому Отсюда,

Следовательно, — биссектриса угла то есть точка равноудалена от и Аналогично, точка равноудалена от всех сторон четырёхугольника то есть является центром вписанной в него окружности.

Получается, — описанный, а суммы длин противоположных сторон описанного четырёхуголька равны. Значит, периметр равен Радиус же описанной окружности равен расстоянию от точки до прямой которое по условию равно

Вспомним формулу площади описанных фигур

где — полупериметр, а — радиус вписанной окружности.

Итак, тогда площадь равна

Пусть диагонали и пересекаются в точке , а — середины и соответственно. Не умаляя общности, можно считать, что лежит на отрезке , а — на , поскольку иначе можно поменять местами пары вершин четырёхугольника на диагоналях. Известно, что из центра окружности перпендикуляр к хорде проходит через её середину. Тогда прямоугольник (не забываем, что ещё диагонали перпендикулярны). По теореме Пифагора

Аналогично,

Итак, мы знаем кусочки диагоналей после разбиения точкой пересечения. Осталось посчитать стороны четырёхугольника по теореме Пифагора:

Так как , то и — равнобокая трапеция. Заметим, что , при этом , а значит, — равносторонний, и его площадь равна . Найдём тогда длину Опустим высоты и на сторону .

Треугольники и — прямоугольные с углом . Тогда , а . Заметим, что — прямоугольник, причём

Таким образом,

Получаем, что площадь треугольника равна , а её квадрат —

Так как хорды и равны, то равны и дуги и а значит, равны вписанные углы и Это означает, что , и — трапеция с равными боковыми сторонами и . Пусть

Высоту выразим по теореме Пифагора

Заметим, что это же можно было получить с помощью теоремы Птолемея:

Таким образом,

где — натуральные числа. Кроме того, то есть

• Если то и уравнение целых решений не имеет.
• Если то и уравнение целых решений не имеет.
• Если то и уравнение целых решений не имеет.
• Если то и уравнение имеет единственное целое решение Тогда периметр равен
• При периметр будет больше 17, так как если то Но тогда или или — то и другое невозможно.

Итак, периметр равен 17. Тогда высота трапеции равна синус угла при основании равен а искомый радиус находится по теореме синусов

пусть пусть — биссектриса треугольника

Точка является точкой пересечения серединного перпендикуляра к диагонали и биссектрисы угла в выпуклом четырехугольнике Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Действительно, опишем окружность около треугольника обозначим точку пересечения биссектрисы угла с окружностью через Тогда по свойству вписанных углов дуги и будут равны, хорды и тоже будут равны, треугольник будет равнобедренным, и серединный перпендикуляр к диагонали и биссектриса угла будут пересекаться в точке Следовательно,

Поскольку около четырехугольника можно описать окружность, то для его диагоналей верно равенство

Треугольник подобен , и , пусть поэтому

По теореме косинусов для треугольников и с учетом имеем

Для равнобедренного треугольника имеем

Четырёхугольник является параллелограммом, поскольку стороны попарно параллельны диагоналям , но раз он вписан, то также является прямоугольником, то есть диагонали перпендикулярны.

Пусть , отсюда и , тогда

Продлим до пересечения с описанной окружностью в точке . Проведем прямую, параллельную через точку .

Легко проверить, что вторая точка пересечения этой прямой с описанной окружностью также удовлетворяет условию задачи, откуда наша прямая — касательная к описанной окружности. Поэтому — биссектриса треугольника . Четырехугольник — вписанный, поэтому , откуда . Из подобия треугольников и получаем , откуда . Запишем теорему Птолемея для четырехугольника :

Поделив последнее равенство на , получаем требуемое.

Первое решение.

Пусть — центр окружности, — точка пересечения и . Докажем, что , и значит, .

Прежде всего, угол равен полусумме дуг и . Так как дуги между параллельными хордами и равны, то , поэтому

из равенства прямоугольных треугольников и

Из равенства углов и следует, что точки лежат на одной окружности. Поскольку радиус перпендикулярен касательной , диаметр этой окружности совпадает с отрезком . Значит, , то есть .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим, что , так как соответствующие дуги заключены между параллельными хордами. Кроме того, из равенства углов и следует подобие треугольников и , и значит, равенство

Аналогично получаем, что

то есть По теореме Птолемея

Пусть теперь пересекает в точке . Тогда треугольники и подобны, следовательно, . Отсюда и из предыдущего равенства получаем, что

Треугольники и — прямоугольные с общей гипотенузой и катетом, равным радиусу окружности, поэтому они равны. Значит, их высоты падают в одну точку общей гипотенузы, то есть — высота в треугольнике . Поэтому точки и лежат на окружности с диаметром . Аналогично точки и лежат на окружности с диаметром . Поскольку диаметры этих окружностей равны, градусные меры дуги в этих окружностях совпадают. В первой окружности на эту дугу опирается , а во второй - , значит, эти углы равны. (Именно равны, а не дополняют друг друга до , потому что точки и лежат по разные стороны от прямой , а окружности симметричны относительно неё).

Аналогично . Сложив это с предыдущим равенством, получим . Аналогично , то есть четырёхугольник — параллелограмм.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно понять, что вершины четырёхугольника инверсны вершинам четырёхугольника относительно нашей окружности, то есть мы только что повторили доказательство теоремы о том, что четырёхугольник, инверсный описанному, является параллелограммом.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Значит, вместо длины отрезка мы можем найти длину отрезка .

По свойству высоты прямоугольного треугольника, . Аналогично , откуда . Кроме того, угол в треугольниках и общий, поэтому они подобны с коэффициентом . Значит,

Из условия мы знаем, что а из вписанного четырёхугольника Откуда получаем, следующие равенства

Значит, отрезок является отрезком касательной к окружности. Теперь мы понимаем, что подобен Запишем соответствующие отношения сторон и подставим значения из условия:

Так как мы знаем, что — биссектриса, то запишем свойство, подставив известные значения

К тому же мы нашли поэтому Давайте теперь запишем формулу для биссектрисы и вычислим её:

Пусть где точка пересечения прямой с окружностью, Четырехугольник вписан в окружность, откуда из произведения отрезков хорд

По свойствам касательных и секущих к окружности имеем

Теперь осталось только решить систему из полученных уравнений в пункте

Откуда Решив уравнение, получим

Так как , то — равнобедренная трапеция.

Значит, . Отсюда треугольники и равны по трем сторонам, и значит, — биссектриса .

Тогда по свойству биссектрисы