Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность 
проходит через вершины 
и 
треугольника 
Окружность 
касается 
и 
в точках 
и 
соответственно. Пусть 
— середина дуги 
окружности 
Докажите, что прямые 
и 
пересекаются в одной
точке.
Подсказка 1
Пусть K — точка пересечения пресечения прямых PQ и BC. Как проверить, что данная точка лежит на прямой PM?
Подсказка 2
Показать, что K является основанием биссектрисы внешнего угла, чаще всего это можно доказать, проверив выполнение равенства CK/BK = CT/BT. Как можно иначе выразить последнее отношение?
Подсказка 3
Можно воспользоваться слабой теоремой Кэзи для Ω и точек B, T, C: 0 · BC ± CT · BP ± BT · CQ = 0, откуда CT/BT = CQ/BP. Так, достаточно показать, что CK/BK = CQ/BP, что хорошо, потому что мы избавились от точки T в утверждении. Как доказать последнее утверждение?
Подсказка 4
Достаточно записать теорему Менелая для треугольника ABC и прямой PQ.
Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
. Прямая 
является биссектрисой внешнего угла 
следовательно,
По слабой теореме Кэзи для 
и точек 
имеем
следовательно,
то есть
Наконец, точки 
лежат на одной прямой, поскольку для них выполнено условие теоремы Менелая
поскольку 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
