Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея

Пусть — данные окружности с центрами которые касаются описанной окружности и соответствуют точкам соответственно, окружность — вписанная в окружность с центром

Пусть — длина общей касательной к окружностям и Докажем, что

где и — длины общих внешних касательных, а и — длины общих внутренних касательных.

Будем рассматривать точки как вырожденные окружности радиуса 0. Через будем обозначать длины касательных из точки к окружности

Запишем теорему Кэзи для окружностей (они все касаются описанной вокруг треугольника окружности):

Отсюда получаем

Аналогично

Запишем теорему Кэзи для окружностей и

откуда, используя и получаем

Аналогично

Теперь найдем

здесь — точки касания сторон треугольника со вписанной окружностью.

Подставив в после упрощения получим

Это выражение равно если

так как

Условие равносильно условию конкурентности прямых т.е.