Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— произвольный треугольник, а 
— точка внутри треугольника. Проведём через точку 
три чевианы, основания
которых — 
Построим вне треугольника три окружности, касающиеся сторон треугольника в основаниях чевиан и описанной
окружности, и четвёртую, касающуюся этих трёх внешним образом. Тогда эта окружность касается вписанной окружности треугольника
внутренним образом.
Источники:
Подсказка 1
Как проверить, что существует окружность, которая касается четырех данных?
Подсказка 2
Достаточно проверить, что выполнена теорема Кэзи. Пусть s₁, s₂, s₃ — данные окружности, которые касаются описанной окружности и соответствуют точкам A, B, C соответственно, окружность s₄. — вписанная в ABC, t_ij длина общей касательной к окружностям s_i и s_j. Давайте покажем, что t₁₂t₃₄ − t₁₃t₄₂ − t₁₄t₃₂ = 0, где t₁₂, t₁₃ и t₂₃ длины общих внешних касательных, а t₃₄, t₄₂ и t₁₄ длины общих внутренних касательных. Как можно выразить длины внешних касательных?
Подсказка 3
Снова по теореме Кэзи. Записав ее для окружностей B, C, s₂ и s₃ имеем t_C3 · t_B2 = CB · t₂₃ + CB₁ · C_1B. Как выразить t_C3 и t_B2?
Подсказка 3
Снова, уже в 3 раз, запишем теорему Кэзи, теперь для окружностей A, B, s₁, C, получим t_A1 = AB · CA₁ / BC + AC · A₁B / BC. Аналогичные равенства верны для t_C3 и t_B2. Теперь, мы умеем выражать длины общих внешних касательных для общих внешних касательных рассматриваемых окружностей. Как образом?
Подсказка 4
Имеем t₂₃ = (AB · B₁C · C₁A + BC · C₁A · AB₁ + CA · AB₁ · BC₁) / AB · CA. Теперь необходимо научиться выражать длины t₃₄, t₄₂ и t₁₄. Как это можно сделать?
Подсказка 5
Имеем t₃₄ = C₁C′ = BC₁− BC′ = BC₁ − (AB + BC − CA) / 2, где C' --- точка касания вписанной окружности со стороной AB. Таким образом, мы научились выражать длины всех касательных. Осталось подставить выражения в исходное равенство и проверить, что оно обращается в верное. Как оно будет выглядеть?
Подсказка 6
После упрощения получим (2AB · BC + 2BC · CA + 2CA · AB − AB² − BC² − CA²) (AB₁ · BC₁ · CA − A₁B · B₁C · C₁A) / 2AB · BC · CA. Таким образом, достаточно проверить, что AB₁ · BC₁ · CA₁ − A₁B · B₁C · C₁A = 0. Почему это верно?
Подсказка 7
Это верно по теоремы Чевы для исходного треугольника.
Пусть 
— данные окружности с центрами 
которые касаются описанной окружности и соответствуют точкам 
соответственно, окружность 
— вписанная в 
окружность с центром 
Пусть 
— длина общей касательной к окружностям 
и 
Докажем, что
где 
и 
— длины общих внешних касательных, а 
и 
— длины общих внутренних касательных.
Будем рассматривать точки 
как вырожденные окружности радиуса 0. Через 
будем обозначать длины касательных
из точки 
к окружности 
Запишем теорему Кэзи для окружностей 
(они все касаются описанной вокруг треугольника 
окружности):
Отсюда получаем
Аналогично
Запишем теорему Кэзи для окружностей 
и 
откуда, используя 
и 
получаем
Аналогично
Теперь найдем 
здесь 
— точки касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
Подставив 
в 
после упрощения получим
Это выражение равно 
если
так как
Условие 
равносильно условию конкурентности прямых 
т.е.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
