Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности 
и 
касаются прямой 
в точках 
и 
соответственно (B лежит между 
и 
внешним образом
касается двух других окружностей. Пусть 
и 
— точки пересечения 
со второй общей внешней касательной окружностей 
и
Перпендикуляр, проведённый через точку 
к прямой 
вторично пересекает 
в точке 
Докажите, что окружность,
построенная на 
как на диаметре, касается 
и 
Подсказка 1
Давайте обозначим за U, V точки пересечения прямых ZX и ZY с прямой ℓ соответственно. Тогда что можно сказать про описанную окружность треугольника ZUV?
Подсказка 2
Попробуйте рассмотреть инверсию с центром в точке Z и радиусом ZB и понять, куда переходят объекты картинки при этой инверсии.
Подсказка 3
Эта инверсия на самом деле меняет местами окружность w₂ и прямую ℓ , и поэтому оставляет окружности w₁ и w₃ на месте. А, значит, описанная окружность треугольника ZUV касается окружностей w₁ и w₃. Теперь уже намечается теорема Кэзи, но для начала стоит понять, чему равна длина касательной из точки Z к окружностям w₁ и w₃.
Подсказка 4
Правильно! Она равна ZB в силу того, что при инверсии из прошлых подсказок эти окружности оставались на месте. Теперь попробуйте написать теорему Кэзи для U,V,Z,w₁ и U,V,Z,w₃.
Подсказка 5
После того как написали эти два условия, стоит их сначала сложить и получить, что середина отрезка AC лежит на биссектрисе угла UZV, а если их вычесть, то получить, что расстояние от середины отрезка AC до прямых ZU и ZV равны половине AC.
Обозначим за 
точки пересечения прямых 
и 
с прямой 
соответственно. Пусть 
— середина отрезка 
Заметим, что
инверсия с центром в точке 
и радиусом 
меняет местами прямую 
и окружность 
а, значит, при этой инверсии окружности
и 
остаются на месте. Следовательно, описанная окружность треугольника 
касается окружностей 
и 
а
длина касательной из точки 
к окружностям 
равна 
Теперь применим теорему Кэзи для 
и
получим
Также напишем Кэзи для 
и получим
Вычтем из 
равенства 
равенство. Получим
Из этого получаем, что 
а, значит, точка 
лежит на биссектрисе угла 
Теперь сложим 
и 
и
получим
В левой части получаем просто удвоенную площадь треугольника 
а правая часть умноженная на 
равна сумме
удвоенных площадей треугольников 
и 
А значит 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
