Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи

a) Будем считать, что оба касания внутренние. Остальные случай касания разбираются аналогично. Докажем следующие утверждение.

Лемма Архимеда. Окружность касается окружности внутренним образом в точке а так же хорды окружности в точке Тогда прямая проходит через середину дуги не содержащей точку

Доказательство. Пусть прямая пересекает в точке Рассмотрим гомотетию с центром в точке переводящую окружность в Пусть прямая пересекает в точке тогда прямая под действием гомотетии переходит в касательную к окружности проведенную в точке Таким образом, данная касательная параллельна то есть является серединой меньшей дуги большей окружности.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к доказательству задачи. Пусть — большая окружность, общая касательная к окружностям касается их соответственно в точках и и пересекает в точках В силу леммы Архимеда, прямые и пересекаются в точке на окружности которая является серединой дуги

Докажем, что треугольники и подобны. Действительно,

Из подобия

Из доказательства леммы Архимеда, в частности, следует, отношение длин отрезков и равно отношению радиусов окружностей и следовательно

Подставляя полученные соотношение в правую часть равенства получим требуемое.

b) Будем считать, что все касания внутренние. Пусть радиусы окружностей соответственно.

В силу пункта (a) имеем

Подставляя в доказываемое равенство данное и аналогичные соотношения и сокращая на последний множитель правой части, получим

что верно в силу теоремы Птолемея для вписанного четырехугольника