Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вася нарисовал на доске замкнутую кривую 
состоящую из четырех звеньев: 
— дуга окружности, меньшая полуокружности,
— отрезок, 
— дуга окружности, большая полуокружности, 
— отрезок, таким образом, что любые два соседних звена
перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую данного вида так, чтобы длины всех звеньев совпадали. Какие тогда будут углы у дуг
и 
Примечание: прямая перпендикулярна дуге окружности, если прямая перпендикулярна касательной к окружности.
Источники:
Подсказка 1
Пока не совсем понятно, как у нас может выглядеть картинка, попробуем порассуждать без неё... Что интересного нам может дать условие на перпендикулярность отрезка дуге окружности?
Подсказка 2
По условию это значит, что отрезок перпендикулярен касательной. А что ещё у окружности перпендикулярно касательной?
Подсказка 3
Правильно, радиус. Получается, радиус лежит на той же прямой, что и отрезок из условия. А можем ли мы сказать это про другой отрезок? Какой вывод из этого можно сделать?
Подсказка 4
Да, центр каждой из окружностей — это пересечение прямых, на которых лежат отрезки из условия. С этим знанием уже гораздо проще построить картинку, главное не забыть про все возможные конфигурации!
Подсказка 5
Нам не дано вообще никаких численных данных, а спрашивают, какими получатся угловые меры дуг. Может быть, мы сможем связать искомые дуги через угол, на который они опираются? Тогда, посчитав этот угол разными способами, мы получим для него уравнение, а если мы знаем угол, то недалеко и до градусной меры исходных дуг.
Подсказка 6
Как можно связать центральный угол окружности (выраженный в радианах) и длину дуги, на которую он опирается?
Подсказка 7
Произведение радиуса окружности на центральный угол будет длиной соответствующей дуги (вспомните, что такое 1 радиан по определению). Как тогда выразить угол каждой дуги через радиус и длину дуги?
Подсказка 8
Давайте введём длины дуг и радиусы окружностей и свяжем их между собой через длину отрезков из условия. Пусть обе дуги будут a, меньший радиус — r, тогда больший радиус — это R=r+a или R=2r+a в зависимости от картинки.
Подсказка 9
Выразим длины нужных нам дуг через введённые обозначения. Приравняйте величины углов и решите квадратное уравнение для r.
Так как прямая 
перпендикулярна дуге 
то радиус окружности, на которой лежит дуга, лежит на прямой 
Аналогично, на
прямой 
лежит радиус окружности, содержащей дугу 
а также радиусы обеих окружностей лежат на прямой 
Из-за того,
что дуги не равны полуокружностям по условию, прямые 
и 
пересекаются. Из всего этого следует, что окружности имеют общий
центр.
Также есть требование, что одна дуга больше полуокружности, а другая — меньше. С учётом того, что мы хотим получить равные длины всех звеньев ломаной, большая полуокружность должна быть у окружности меньшего радиуса, что оставляет нас с двумя вариантами ломаной.
Пусть
Первый вариант ломаной.
.png)
Предположим, что радиус 
меньше. Обозначим за 
центр окружности, содержащей дугу 
пусть 
— ее радиус, 
С одной стороны,
С другой,
Таким образом,
Решим квадратное уравнение относительно 
Поскольку 
один из корней будет положительным, а другой — отрицательным. Радиус не может быть отрицательным,
следовательно
Тогда
Это примерно 
радиан. У второй дуги угол равен 
Второй вариант ломаной.
.png)
Пусть 
— радиус большей окружности, 
— меньшей, 
Тогда
А также
При этом 
Резюмируя, получим
Из второго уравнения
Из первого уравнения
Тогда
Решим квадратное уравнение относительно 
В результате вычислений, 
а 
Тогда получим второй вариант угла
и 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
